Wybrane fragmenty z Nowej Teorii Implikacji
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... html#94138


Wojna paradygmatów

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

0.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>


0.1 Aktualny stan nauki w zakresie implikacji

Aktualne, znane człowiekowi definicje implikacji mają zero wspólnego z implikacją występującą w naturalnym języku mówionym człowieka.
A.
Implikacja materialna:
http://www.zgapa.pl/zgapedia/Implikacja.html
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q". Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe. Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania". W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
B.
Implikacja ścisła:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Logika_modalna
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco …

Implikacja występująca w naturalnym języku mówionym to absolutny banał po przyjęciu prawidłowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia

Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań). Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.

W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 5)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
3.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 9 i 10)


0.2 Wojna paradygmatów

NTI - Nowa Teoria Implikacji
KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań

Zero-jedynkowo definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> znane są człowiekowi od ponad 100 lat. Dawno, dawno temu, jakiś matematyk doszedł do błędnego wniosku, że w logice implikacja odwrotna ~> jest zbędna. Powstał z tego paradygmat naukowy utrwalany i rozwijany przez kolejne pokolenia matematyków.

Stary paradygmat - współczesna nauka
A.
Prawa Kubusia, poprawne w NTI i KRZ (Sic !), są w logice zbędne
B.
Równanie ogólne implikacji poprawne w NTI i KRZ (Sic !) jest w logice zbędne
C.
Definicja implikacji odwrotnej ~> zero-jedynkowo identyczna w NTI i KRZ (Sic !) też jest w logice zbędna

Paradygmat Kubusia - nowa era w logice

Paradygmat Kubusia to totalne zaprzeczenie starego paradygmatu. Wszystkie 16 operatorów logicznych (pkt.1.1) jest w logice absolutnie niezbędne, w tym kwestionowany przez stary paradygmat operator implikacji odwrotnej ~> bo wszystkimi 16-toma operatorami posługuje się biegle każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora czego dowód w NTI. Prawa Kubusia i równanie ogólne implikacji to dwie świętości algebry Boole’a które nigdy nie mogą być gwałcone i które do obsługi naturalnej logiki człowieka są niezbędne. Prawa te działają fenomenalnie w całym naszym Wszechświecie, martwym i żywym, a także w matematyce.

Wikipedia
http://pl.wikipedia.org/wiki/Paradygmat

Paradygmat a rewolucja naukowa
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.
Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki "nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem". I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie - jak Newton, Lavoisier lub Einstein - mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.

Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć". Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to "istotne obciążenie" badań naukowych.

Kryzys w nauce
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą. Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do "normalności".
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat, i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów.
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż "instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią". Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.

Nowa Teoria Implikacji to właśnie punkt 3, czyli totalna negacja starego paradygmatu. Tu nie ma miejsca na kompromis, bo takowy jest po prostu niemożliwy. W starym paradygmacie nie ma miejsca na fenomenalnie działające prawa Kubusia, bo te wymagają uznania równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> a to rozwala totalnie cała dzisiejszą logikę w zakresie implikacji, bo wszystkie znana człowiekowi logiki błędnie uznają definicję implikacji odwrotnej ~> za zbędną.

Powyższy cytat doskonale pokazuje na jakie opory napotka NTI w drodze do podręcznika matematyki I klasy LO. Możemy mieć tylko nadzieję, że kiedyś to nastąpi.
W dniu dzisiejszym paradygmat naukowy:
„Implikacja odwrotna ~> jest w logice zbędna a tym samym prawa Kubusia są w logice zbędne (sic! - poprawne także w KRZ !)”
osiągnął niebotyczne rozmiary tzn. powstało potwornie dużo teorii „matematycznych” w sposób oczywisty gwałcących świętość algebry Boole’a, prawa Kubusia i inne prawa tu odkryte np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a czy równanie ogólne implikacji prawdziwe zarówno w NTI jak i KRZ.
Najśmieszniejszy w tym wszystkim jest fakt, że o ile w operatorach AND i OR matematycznie można się obejść bez jednego z tych operatorów na podstawie praw de’Morgana to w implikacji operator implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> (albo odwrotnie) na podstawie prawa Kubusia, które zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Tak więc miejsce jakiejkolwiek logiki w obszarze implikacji wykorzystującej wyłącznie jeden operator implikacji prostej => jest w koszu na śmieci.

Istota Nowej Teorii Implikacji

1.1 Podstawowe definicje NTI

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>


1.5 Niezwykłe dowody w historii logiki

Równanie ogólne implikacji poprawne w KRZ i NTI:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Wypowiadam zdanie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 jest wystarczajże dla P2 zatem implikacja prosta prawdziwa

Oczywiście zachodzi tu prawa strona równania ogólnego implikacji:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2)

Wypowiadam teraz zupełnie inne zdanie:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8 zatem implikacja odwrotna prawdziwa

W tym przypadku zachodzi prawa strona równania ogólnego implikacji:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)

Dla A i B pełne równanie ogólne implikacji przybierze postać:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna gwarantowana przez operator implikacji prostej =>

Dla lewej strony mamy:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Gwarantowany zbiór: 8,16,24 …
To samo w operatorach AND:
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2) =1
Gwarantowany zbiór: 8,16,24…

Dla prawej strony mamy:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Gwarantowane liczby: 3,5,7…
To samo w operatorze AND:
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8)
Gwarantowane liczby: 3,5,7 …

Wnioski:
1.
Nie zachodzi przemienność argumentów w operatorach AND i OR wynikłych z definicji implikacji bo:
~(P8*~P2) # ~(~P2*P8)
Po obu stronach nierówności mamy do czynienie z dwoma różnymi zbiorami jak wyżej
2.
Poza tymi gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8 czyli 2,4,6…. Dlatego to jest implikacja a nie równoważność.
3.
Prawo kontrapozycji w implikacji jest fałszywe bo:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
po przywiązaniu na stałe p i q do lewej strony mamy:
p=>q # ~q=>~p

Na ateiście.pl odbyła się pasjonująca dyskusja na temat Noewj Teorii Implikacji.

Od zawsze czekałem na kogoś z drugiej strony kto chciałby na serio obalać NTI ... tu Windziarz doskonale spełnił swoje zadanie.
741 postów w ciagu 4 miesięcy !

Będzie co ma być ... czyli NTI zaistnieje albo nie :think:

Czas odpocząć:
Kubuś

Cytat z:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=33 ... tcount=742



P.S.
Nowe definicje implikacji z NTI są dla KRZ nie do zaakceptowania bo ...

Cytat z:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=32 ... tcount=741


... a nie zauważyłeś przypadkiem że Ty patrzysz na implikację poprzez definicję implikacji materialnej a ja poprzez nowe definicje z NTI ?
Nie zauważyłeś że jedno z drugim jest nie do pogodzenia ?
Nie zauważyłeś że akceptacja genialnych praw Kubusia (poprawnych w KRZ !) wymaga uznania równych praw implikacji prostej i odwrotnej ? … a to oznacza śmierć implikacji materialnej i samego KRZ czyli … KRZ uznaje prawa Kubusia poprawne w KRZ i popełnia samobójstwo, taka jest prawda Windziarzu.

NTI to matematyka naturalnego języka człowieka gdzie takie pojęcia jak formy zdaniowe, kwantyfikatory itp. są zbędne, bo w naturalnym języku nikt tego nie używa.

Nie wiem jak można nie rozumieć banalnych definicji implikacji z NTI, czy równie banalnych definicji zero-jedynkowych warunków koniecznych i wystarczających.

Windziarzu, dzięki zatem za dyskusję, była pasjonująca, dzięki niej napisałem praktycznie od nowa całą NTI - jest w podpisie.
Totalnie wymieniłem punkty 1.0 do 6.0, jak pominiesz obietnice tu całość jest trzykrotnie mniejsza, przykładów jest tyle co na lekarstwo, wszystko na zapisach ogólnych.

Od zawsze analizowałem zdania matematycznie prawidłowo … ale teraz dowód tej poprawności mam na bramkach logicznych, czyli to jest absolutnie pewne i nie do obalenia.

Nasz mózg obsługuje implikację niesłychanie prosto i jednocześnie finezyjnie, przy okazji jest tu dowód że NTI w obsłudze implikacji nie wychodzi poza dwuelementową algebrą Boole’a.

To co niżej to historyczna chwila, czyli cała NTI na jednej A4 - mam nadzieje że załapiesz.

Fragment z podpisu ….

4.5 Implikacja prosta w bramkach logicznych
....

Wersja ostateczna Nowej Teorii Implikacji datowana: 2010-05-23
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... html#94138

Pożegnanie Kubusia

Mam nadzieję że to jest pożegnalny post Kubusia. Po 4 latach walki z sześcioma kluczowymi zerami i jedynkami w definicji implikacji czas odpocząć. W NTI rozpracowana została nie tylko implikacja ale tez dziecinnie proste operatory OR i AND .... nawet tego banału ludzie nie rozumieją właściwie, bo nie znają logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole'a.

Myślę, że jeśli ludzie kiedykolwiek załapią NTI (co nie jest pewne) to będzie to jedno z największych odkryć w historii ludzkości. NTI to odkrycie matematyki pod która podlega każdy człowiek od 5-cio latka po starca, matematyka ta istnieje w niezmienionej formie od początku naszego Wszechświata, opisuje zarówno świat martwy jak i żywy.

Dzisiejsza logika to chore próby zmuszenia człowieka do myślenia jakimiś logikami formalnymi mającymi zerowy związek z naturalną logiką człowieka, w szczególności prawdziwe jest to równanie:
Implikacja materialna = królowa absolutnego IDIOTYZMU

NTI nie jest kolejną logiką formalną !

NTI to matematyka ścisła rządząca całym naszym Wszechświatem przez Boga stworzona. Człowiek nie jest w stanie ani jej zmienić, ani ulepszyć, bo sam pod nią podlega.


Fragment z podpisu ....


2.3 Analogie między OR i AND a implikacją prostą => i odwrotną ~>

W tym punkcie wyprzedzimy trochę czas bowiem na razie nie wiemy nic o implikacji, ale myślę, że mimo wszystko czytelnik będzie w stanie to zrozumieć bowiem całość to matematyka na poziomie I klasy LO.

Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna (logika ujemna):
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna (logika dodania):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne binarne sprowadzamy do jedynek, stąd w powyższych definicjach pojęcie logiki dodatniej i ujemnej.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

W naturalnej logice człowiek korzysta wyłącznie z cząstkowych operatorów sumy logicznej i iloczynu logicznego zero-jedynkowo zawsze w logice dodatniej o następujących definicjach.

Cząstkowy operator sumy logicznej w logice dodatniej (Y):

Co jest zgodne z definicja ogólną sumy logicznej OR:
Suma logiczna zmiennych binarnych ma wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.

Ten sam operator logice ujemnej (~Y), czyli negujemy zmienne i odwracamy wszystkie zera i jedynki.

Zauważmy, że powyższe tabele to dwa rozłączne światy matematyczne, oczywiście zachodzi tu równanie:
Y#~(~Y)
p+q # ~(~p+~q)

Cząstkowy operator iloczynu logicznego w logice dodatniej (Y):

Co jest zgodne z definicją ogólną iloczynu logicznego AND:
Iloczyn logiczny zmiennych binarnych ma wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne mają wartość 1.

Ten sam operator logice ujemnej (~Y), czyli negujemy zmienne i odwracamy wszystkie zera i jedynki.

Tu również powyższe tabele to dwa rozłączne światy matematyczne, gdzie zachodzi:
Y # ~(~Y)
p*q # ~(~p*~q)

Operatory OR I AND

Definicja operatora OR
OR - złożenie cząstkowego OR w logice dodatniej i cząstkowego AND w logice ujemnej

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y (logika dodatnia) # ~Y (logika ujemna)

Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd po podstawieniu A i D otrzymujemy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Definicja operatora AND
AND - złożenie cząstkowego AND w logice dodatniej i cząstkowego OR w logice ujemnej

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y(logika dodatnia) # ~Y (logika ujemna)

Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)

Oczywiście na mocy definicji operator OR to fundamentalnie co innego niż operator AND.
P*q # p+q

Z powyższego otrzymujemy równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
p*q = ~(~p+~q) # p+q = ~(~p*~q)

Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

Po rozbiciu na logikę dodatnią i ujemną mamy:

Zauważmy, że związki między logikami (prawa de’Morgana):
Y=~(~Y)
zachodzą wyłącznie w pionach i nie zachodzą ani po przekątnych, ani w poziomach.

Co więcej !
Z lewej strony mamy zero-jedynkową definicję operatora AND, natomiast z prawej strony mamy zero-jedynkową definicję operatora OR

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operator AND nie może istnieć bez operatora OR i odwrotnie, bowiem prawa de’Morgana zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej !

Doskonale widać, że jeśli zanegujemy wszystkie zmienne i odwrócimy zera i jedynki to lewy pion przejdzie w prawy i odwrotnie. Oznacza to że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do AND albo odwrotnie, zależnie od punktu odniesienia.

Dlaczego wraz z negacją zmiennych odwracamy zera i jedynki ?
W technice bramek logicznych wciągnięcie negacji do nazwy sygnału powoduje odwrócenie zer i jedynek dochodzących do tego układu (pkt.6.0).

Operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p musi być wystarczające dla q
plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Identyczne równanie ogólne jak w OR i AND mamy w implikacji na podstawie praw Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia).

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.

Oczywiście matematycznie na podstawie definicji zachodzi:
p=>q # p~>q

Stąd równanie ogólne implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

Równanie ogólne w kwadracie logicznym implikacji:

W pionach mamy wyżej tożsamości matematyczne, prawa Kubusia. Między pionami ani w poziomie, ani po przekątnych nie zachodzą żadne prawa matematyczne (identycznie jak w AND i OR).

W pionach mamy tu najzwyklejsze definicje zero-jedynkowe implikacji prostej => z lewej strony i implikacji odwrotnej ~> z prawej strony.

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operator implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie bo prawa Kubusia zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej !

Doskonale widać, że jeśli zanegujemy wszystkie zmienne i odwrócimy zera i jedynki to lewy pion przejdzie w prawy i odwrotnie. Oznacza to że operator implikacji prostej => jest logiką ujemną w stosunku do implikacji odwrotnej ~> albo odwrotnie, zależnie od punktu odniesienia.

Dlaczego wraz z negacją zmiennych odwracamy zera i jedynki ?
W technice bramek logicznych wciągnięcie negacji do nazwy sygnału powoduje odwrócenie zer i jedynek dochodzących do tego układu (pkt.6.0).

Powyższe równanie ogólne implikacji zapisane jest dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na wypowiedzianym zdaniu, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze poprzednik p, zaś po „to…” mamy zawsze następnik q.

Jeśli zależy nam uwypukleniu faktu zamiany argumentów to na powyższe równanie można spojrzeć ze sztywnego punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q, wtedy przybierze ono postać:
B: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p

Równie dobrze sztywny punkt odniesienia możemy ustawić na zdaniu p~>q, wtedy równanie przybierze postać:
C: p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p

Oczywiście równania A, B i C są matematycznie równoważne o czym można się przekonać podstawiając dowolną implikację prostą => prawdziwą, która po zamianie argumentów przechodzi w implikacje odwrotną ~> prawdziwą, ale matematycznie nie równoważną, na mocy powyższego równania.

Przykład:
Implikacja prosta:
1.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu wystarcza aby istniały chmury, zatem implikacja prosta prawdziwa
2.
Implikacja odwrotna:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są konieczne dla deszczu, zatem implikacja odwrotna prawdziwa

A.
Równanie ogólne implikacji dla punktu odniesienia ustawionego zawsze na zdaniu wypowiedzianym czyli po „Jeśli…” mamy zawsze poprzednik p zaś po „to…” mamy zawsze następnik q.
Zauważmy, że ten punkt odniesienia jest zgodny z definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~> !
1.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
p=P, q=CH
2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
p=CH, q=P
stąd:
A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q
Nasz przykład:
A: P=>CH = ~P~>~CH # CH~>P = ~CH=>~P

B.
Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q
Mamy:
1.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
p=P
q=CH
stąd:
B: p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p
Nasz przykład:
B: P=>CH = ~P~>~CH # CH~>P = ~CH=>~P

C.
Równanie ogólne implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p~>q
Mamy:
2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
p=CH
q=P
C: p~>q = ~p=>~q # q=>p = ~q~>~p
Nasz przykład:
C: CH~>P = ~CH=>~P # P=>CH = ~P~>~CH

Doskonale widać, że dla konkretnego przykładu równanie ogólne implikacji jest identyczne i niezależne od punktu odniesienia z którego na nie patrzymy.
CND

Jakiś matematyk ze 150 lat temu, kompletnie nie rozumiejąc kluczowego w implikacji punktu odniesienia błędnie postawił w równaniu B znak tożsamości:
B: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p

Fałszywe równanie ogólne implikacji wyżej to przyczyna wariatkowa w całej dzisiejszej logice, z powyższego powodu wewnętrznie sprzecznej, i matematycznie niejednoznacznej.

Dowód:
B: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
Powyższe równie zapisano przyjmując za punkt odniesienia zdanie B: p=>q.
Dla naszego przykładu równanie to przybierze postać:
B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P

Oczywiście w poprawnej matematyce nie może być świętych krów, zatem równie dobrze możemy przyjąć za punkt odniesienia zdanie C: p~>q
C: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p
Nasz przykład:
C: CH~>P = ~CH=>~P = P=>CH = ~P~>~CH

Na mocy definicji implikacji mamy:
B: p=>q # C: p~>q
Rozwijamy prawą i lewą stronę w oparciu o równania B i C:
B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P # C: CH~>P = ~CH=>~P = P=>CH = ~P~>~CH

W tożsamości równania możemy przestawiać, zamieńmy prawą stronę dookoła czerwonego znaku „=”
B: P=>CH = ~P~>~CH = CH~>P = ~CH=>~P # P=>CH = ~P~>~CH = C: CH~>P = ~CH=>~P

Doskonale widać, że po obu stronach nierówności mamy identyczne równania zatem:
A # A
algebra Boole’a leży w gruzach!
Zauważmy, że powyższa nierówność to absolutny idiotyzm w dowolnej algebrze, w dowolnym rozumowaniu logicznym !

Wnioski:
1.
Dowolna logika formalna, która nie respektuje równania ogólnego implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q
jest wewnętrznie sprzeczna (bo A#A).
CND
2.
Jedyną znaną człowiekowi logiką pozbawioną wewnętrznej sprzeczności jest Nowa Teoria Implikacji.
3.
Najbardziej spektakularny i bezdyskusyjny dowód fałszywości fundamentu dzisiejszej logiki jakoby implikacja odwrotna ~> była matematycznie zbędna na mocy tego równania:
p=>q = q~>p
pokazano w punkcie 7.4.
W rzeczywistości mamy bezdyskusyjnie:
p=>q # q~>p
zatem implikacja odwrotna ~> jest w logice absolutnie niezbędna.

Uznanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to koniec wariatkowa w dzisiejszej „logice”, to koniec analizowania na serio matematycznych śmieci w rodzaju:
A.
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=1
p=>q
Implikacja prawdziwa w dzisiejszej „logice”
B.
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy wszyscy murzyni są czarni
2+2=4 <=> WMC =1
p<=>q
Autentyczna równoważność „prawdziwa” z matematyki.pl

W NTI oba powyższe zdania są fałszywe bowiem w A poprzednik p nie jest warunkiem wystarczającym dla następnika q, natomiast w B między p i q muszą zachodzić warunki wystarczające w obie strony co oczywiście nie ma miejsca.


3.0 Implikacja w naturalnej logice człowieka

Analogia do operatorów AND i OR omówionych wyżej jest tu 100%.

Definicja warunku wystarczającego

Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego => w logice dodatniej:

Definicja operatorowa warunku wystarczającego w logice dodatniej:

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Definicja operatorowa warunku wystarczającego w logice ujemnej, czyli negujemy wszystkie zmienne oraz odwracamy zera i jedynki im odpowiadające.

Powyższe tabele to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne:
p=>q # ~p=>~q

Definicja warunku koniecznego

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~> w logice dodatniej:

Definicja operatorowa warunku koniecznego ~> w logice dodatniej:

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Definicja operatorowa warunku koniecznego w logice ujemnej, czyli negujemy wszystkie zmienne oraz odwracamy zera i jedynki im odpowiadające.

Powyższe tabele to dwa odrębne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne:
p~>q # ~p~>~q

Definicje:
1.
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej i koniecznego ~> w logice ujemnej
2.
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej i wystarczającego w logice ujemnej
3.
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej i warunku wystarczającego w logice ujemnej

Koniec !
To co wyżej to banalna logika na poziomie 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta implikacji, matematycznie to poziom I klasy LO.

Zapraszam wszystkich do lektury:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... html#94138

Link do Nowej Teorii Implikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... html#94138

Twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe, ponieważ w niczyim interesie nie leży, by uważać je za fałszywe.
Monteskiusz
Poprawna, dwuelementowa algebra Boole'a to matematyczny opis naszego Wszechświata, zarówno martwego jak i żywego. Gdyby algebra Boole'a była na poziomie czystej abstrakcji to byłaby nie do ruszenia.
Kubuś

Obalanie implikacyjnych mitów

Absolutny i druzgocący dowód niezbędności operatora implikacji odwrotnej ~> w logice, oczywiście przeprowadzony na bazie nowych definicji implikacji z NTI bo:
Implikacja materialna = królowa absolutnego idiotyzmu

Operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~>

Definicja implikacji prostej:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p musi być wystarczające dla q
plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
plus musi zachodzić wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Zdania przykładowe:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q - na mocy definicji implikacji prostej !
P8 wystarcza dla P2, implikacja prosta prawdziwa
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q - na mocy definicji implikacji odwrotnej !
P2 jest konieczne dla P8, implikacja odwrotna prawdziwa

Oczywiście matematycznie zachodzi równanie ogólne implikacji:
p=>q =~p~>~q # p~>q=~p=>~q
P8=>P2=~P8~>~P2 # P2~>P8=~P2=>~P8
Między obiema stronami nierówności nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Zauważmy że.
Lewa strona nierówności:
P=P8, q=P2
Prawa strona nierówności:
p=P2, q=P8
Każdemu kto protestuje przeciw powyższemu wyjaśniam iż nie ma pojęcia o teorii bramek logicznych, dwuelementowej algebrze Boole’a. Algebra Boole'a nie ma 100% przełożenia na algebrę dziesiętną, to fakt ogólnie znany. Wyżej Kubuś dorzuca jeszcze jeden kamyczek do tego ogródka, myślę, że najważniejszy w całej historii logiki bo:

Nowa Teoria Implikacji = matematyka naturalnego języka mówionego !

... mamy to czego ludzie bezskutecznie poszukują od 2500 lat, głównie dzięki dyskusjom na ŚFINII i ateiście.pl, wielkie dzięki wszystkim.

Kubuś - Wirtualny Internetowy Miś
… wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji

Implikacja to problem na poziomie 5-cio letniego dziecka, naturalnego eksperta w tej dziedzinie, matematycznie to problem na poziomie I klasy LO, absolutnie nic więcej.

Witamy w świecie normalnych, koniec z idiotyzmami w stylu:
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
PR=>KS=1 - implikacja prawdziwa w wariatkowie

Obalenie mitu o zbędności implikacji odwrotnej


A.
Punkt odniesienia ustawiony zawsze na wypowiedzianym zdaniu czyli po „Jeśli” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q
p=>q, p~>q - prawdziwe
P8=>P2, P2~>P8

q=>p, q~>p - fałszywe
P2=>P8, P8~>P2
Wniosek:
Implikacja odwrotna jest w logice niezbędna, inaczej nie zakodujemy zdania p~>q

B.
Punkt odniesienia p=>q
p=>q, q~>p - prawdziwe
P8=>P2, P2~>P8

q=>p, p~>q - fałszywe
P2=>P8, P8~>P2
Wniosek:
Implikacja odwrotna ~> jest w logice niezbędna inaczej nie zakodujemy zdania q~>p

C.
Punkt odniesienia p~>q
p~>q, q=>p - prawdziwe
P2~>P8, P8=>P2

q~>p, p=>q - fałszywe
P8~>P2, P2=>P8
Wniosek:
Implikacja prosta jest w logice niezbędna inaczej nie zakodujemy zdania q=>p

Wniosek:
Obie implikacje prosta => i odwrotna ~> są w logice niezbędne




Pójdę na uczelnię i na 100% trafię na Windziarza, tak wiec to bez sensu.
Wszyscy wiedzą że implikacja materialna w obsłudze naturalnej logiki człowieka to idiotyzm. Wszyscy szukają matematycznego opisu naturalnego języka mówionego od 2500 lat.

Uznanie praw Kubusia sprowadza problem implikacji która posługują się ludzie do poziomu 5-cio latka.

Problem w tym że przyjęcie praw Kubusia (poprawne w KRZ !), rozwala całą współczesną logikę w zakresie implikacji bo prawa te wymagają równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Komu na tym zależy ?

http://pl.wikipedia.org/wiki/Logika_modalna
Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco….



Przecież masz wyżej napisana co było intencją Lewisa i jak to sie skończyło.
Czy Lewis osiągnął zamierzony cel ?
Czy znalazł tą wersję implikacji która posługują się ludzie ?
Logiki modalne to ostatnia klęska człowieka w poszukiwaniu tej implikacji.

W tym poście:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=337146&postcount=743
masz dowód że AND nie może istnieć bez OR, zaś implikacja prosta => bez odwrotnej ~> bo prawa de’Morgana i prawa Kubusia zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.

Z powyższego wynika, że wszelkie znane człowiekowi logiki to wyłącznie logiki formalne (ułomne), bo nie uznające równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia.

Link do Nowej Teorii Implikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... tml#113906

Cytat z:
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=35 ... tcount=940

Podsumowanie dyskusji
2010-07-24
Za bazę posłuży tu post Fizyka sprzed ponad roku, kiedy to NTI była jeszcze dzieckiem …
http://www.ateista.pl/showpost.php?p=23 ... stcount=71

… powyższe zdanie dotyczy twierdzenia Pitagorasa, tak więc mętlik powstał w matematyce na poziomie 6 klasy szkoły podstawowej !
Dlaczego powstał ?
Bo cała dzisiejsza logika matematyczna zbudowana na idiotyzmie wszechczasów „implikacji materialnej” jest do bani - jej miejsce jest w koszu na śmieci !


Kubusiowa szkoła logiki
Z dedykacją dla Fizyka.

Temat:
Rozwiązanie mętliku Fizyka.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.

Definicja słowna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - praw zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~>.

Gdzie:
=> - symbol dwuznaczny, może oznaczać:
1.
p=>q - tylko warunek wystarczający, p jest wystarczające dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej , nie jest to operator logiczny.
2.
p=>q - operator logiczny implikacji prostej, będący złożeniem warunku wystarczającego => w logice dodatniej p=>q i warunku koniecznego ~> w logice ujemnej ~p~>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym:

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.

Definicja słowna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej na implikację prostą
Zauważmy, że prawo Kubusia działa w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej =>.

Gdzie:
~> - symbol dwuznaczny, może oznaczać:
1.
p~>q - tylko warunek konieczny, p jest konieczne dla q, definiowany dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej, nie jest to operator logiczny
2.
p~>q - operator logiczny implikacji odwrotnej, będący złożeniem warunku koniecznego ~> w logice dodatniej p~>q i warunku wystarczającego => w logice ujemnej ~p=>~q, czyli musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi, zatem nie jest to implikacja odwrotna

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia).

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.

Warunki wystarczający i konieczny należy rozumieć w sposób naturalny, dokładnie tak jak to rozumieją dzieci w przedszkolu.

W naturalnym języku mówionym wypowiadając zdanie „Jeśli…to…” człowiek rozstrzyga tylko i wyłącznie czy użyć spójnika „musi” czy też „może”, nie ma więc tu wyjścia poza dwuelementową algebrę Boole’a. Zdanie „Jeśli…to…” może mieć tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń o których na końcu.


http://www.ateista.pl/showpost.php?p=23 ... stcount=71



Zacznijmy od implikacji prostej:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
A.
P8=>P2=1
P8 jest wystarczające dla P2, warunek wystarczający spełniony

Czyli po Fizykowemu precyzyjnie:
Dla Każdego x jeśli x jest podzielne przez 8 to na pewno => x jest podzielne przez 2
B.
/\x x/8=>x/2

Oczywistym jest że zapisy symboliczne A i B są matematycznie tożsame, w obu przypadkach chodzi o warunek wystarczający definiowany jak niżej. Zapis A jest prostszy i zgodny z naturalną logiką człowieka, żaden matematyk nie ma prawa zabraniać jego używania !

Definicja warunku wystarczającego:

Doskonale widać, że:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p=>q
bo druga linia:
Jeśli zajdzie p to musi zajść ~q
p=>~q
jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić

Stąd mamy definicję słowną warunku wystarczającego:
p=>q
Z p wynika q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
czyli:
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Stąd mamy definicję symbolu =>:
=> - warunek wystarczający czyli spójnik „musi”, „na pewno”, ‘gwarantuje”, „na 100%”itp.

Zauważmy że:
Kwantyfikator duży „dal każdego” /\ (dzisiejsza matematyka) = warunek wystarczający =>(NTI)
Na chłopski rozum powinno być:
Kwantyfikator mały „istnieje” \/ (dzisiejsza matematyka) = warunek konieczny ~> (NTI)
… tak jednak nie jest bowiem może być spełniony kwantyfikator mały \/ „istnieje” natomiast warunek konieczny wcale nie musi zachodzić.
Przykład:
jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24 - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>
ale:
P3~>P8 =0 - warunek konieczny tu nie zachodzi.

Wnioski:
1.
W opisie warunku koniecznego kwantyfikatory leżą i kwiczą …
2.
W opisie warunku wystarczającego kwantyfikator duży „dla każdego” /\ jest matematycznie dokładnie tym samym co warunek wystarczający => w NTI
3.
Zatem kwantyfikatory w logice są zbędne, gmatwają komunikację zamiast upraszczać, nikt normalny nie używa kwantyfikatorów w języku mówionym.
W matematyce są również zbędne z powodu tożsamości:
„/\” = „=>” !

Oczywistym jest, że warunek wystarczający => nie jest operatorem logicznym, bo ten musi być definiowany wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej.

W matematyce:
Warunek wystarczający p=>q = twierdzenie matematyczne p=>q

Udowodnienie twierdzenia (warunku wystarczającego) w kierunku p=>q o niczym nie rozstrzyga, bowiem twierdzenie może być równoważnością p<=>q, albo implikacją prostą p=>q, to trzeba dopiero udowodnić.

Matematyczne operatory logiczne implikacji prostej =>, implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> to złożenie warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jednego w logice dodatniej, drugiego w ujemnej.

Drugim, kompletnie nieznanym matematykom symbolem jest symbol warunku koniecznego ~>, również definiowanego dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej.

Definicja warunku koniecznego ~> i implikacji odwrotnej ~>:

Zauważmy, że tym razem aby zdefiniować zero-jedynkowo warunek konieczny ~>, definiowany dwoma pierwszymi liniami musieliśmy dopisać dalsze dwie linie.
Dlaczego ?
Rozumowanie wykładowcy logiki Volratha (dzięki):
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Tym sposobem uzyskaliśmy poprawną definicję implikacji odwrotnej ~> definiowaną wszystkimi czteroma liniami tabeli zero-jedynkowej.

Definicja implikacji odwrotnej ~>:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Zauważmy, że udowodnienie warunku koniecznego p~>q wymusza implikacje odwrotną p~>q o tabeli zero-jedynkowej jak wyżej.
W tym przypadku mamy zatem:
p~>q (warunek konieczny, pierwsze dwie linie w tabeli) = p~>q (implikacja odwrotna, cztery linie w tabeli)

Jak widać symbol ~> jest tu dwuznaczny. Zauważmy jednak że nie możemy rozstrzygnąć o zachodzącym warunku koniecznym bez skorzystania z prawa Kubusia wiążącego pierwsze dwie linie w tabeli z dwoma ostatnimi.

Zauważmy, że dla zdefiniowania warunku koniecznego nie wystarczą pierwsze dwie linie tabeli zero-jedynkowej bo …

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8, zatem implikacja odwrotna jest tu fałszywa:
P3~>P8=0 !
Załóżmy jedna że to implikacja odwrotna prawdziwa i przeanalizujmy to zdanie przez definicję operatorową implikacji odwrotnej.

Jak widzimy uzyskana tabela zero-jedynkowa nie jest implikacją odwrotną ~>, zatem P3 nie jest konieczne dla P8.

Jak najprościej wykazać, że P3 nie jest konieczne dla P8 ?
Oczywiście korzystając z prawa Kubusia !
Dowód nie wprost:
Załóżmy że P3~>P8 jest implikacją odwrotną i skorzystajmy z prawa Kubusia:
P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8
Prawa strona jest oczywistym fałszem, zatem lewa strona nie może być implikacja prostą prawdziwą, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Wniosek:
Prawdziwość zdania P3~~>P8 opisuje równanie:
(P3~>P8 )+(P3~~>P8 ) = 0+1 =1
Implikacja odwrotna P3~>P8=0 ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda np. 24.

Zauważmy że ten sposób jest prostszy i zgodny z naturalną logika człowieka !

Definicja implikacji prostej =>:


Definicja słowna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja równoważności <=>:

Stąd definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji w tej postaci:
~p=>~q = q=>p
Stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Doskonale widać, że warunek wystarczający p=>q jest identyczny w implikacji prostej => i równoważności (pierwsze dwie linie).

Oczywiście:
Warunek wystarczający p=>q = twierdzenie matematyczne p=>q

Udowodnienie twierdzenia (warunku wystarczającego) w kierunku p=>q determinuje:
1.
Implikacje prostą =>
ALBO:
2.
Równoważność <=>

Jak to rozstrzygnąć ?

Bardzo pomocne są tu kwadraty logiczne implikacji i równoważności.

Znany w matematyce kwadrat logiczny implikacji:
http://www.math.edu.pl/kwadrat-logiczny
to de facto kwadrat logiczny równoważności, nie mający nic wspólnego z implikacją.

Twierdzenie Kubusia:
Niemożliwe jest narysowanie poprawnego kwadratu logicznego implikacji bez akceptacji równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia.

Wniosek:
Dzisiejsza logika nie dysponuje poprawnym kwadratem logicznym implikacji !

Kwadrat logiczny implikacji dla punktu odniesienia p=>q.

W pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
P8=>P2 = ~P8~>~P2

q~>p = ~q=>~p
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Między pionami nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Stąd równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p
P8=>P2 = ~P8~>~P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8

Stąd prawo kontrapozycji poprawne w NTI:
p=>q # ~q=>~p
P8=>P2 # ~P2=>~P8
Prawdziwość zdania z jednej strony nierówności wymusza prawdziwość zdania z drugiej strony. Nie są to jednak zdania tożsame matematycznie bo wypowiedziane w przeciwnych logikach.
W implikacjach czasowych prawdziwość zdania p=>q w czasie przyszłym wymusza prawdziwość zdania ~q=>~p w czasie przeszłym.
Przykład:
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>O =1
Obietnica, zatem na mocy definicji w NTI implikacja prosta =>.
Prawo kontrapozycji w NTI:
P=>O # ~O=>~P
Jeśli nie otworzyłem parasolki to na pewno nie padało
~O=>~P =1 - prawda
Zauważmy że czas przyszły jest tu bez sensu:
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padać
~O=>~P =0 - oczywisty fałsz
Oczywiście:
Przyszłość (P=>O) # przeszłość (~O=>~P) - tu wszystko jest zdeterminowane

Mamy wyżej dowód na przykładzie poprawności prawa kontrapozycji w NTI w tej postaci:
p=>q # ~q=>~p

Dowody na fałszywość poniższego równania obowiązującego w dzisiejszej matematyce:
p=>q = q~>p
1.
Dowód na bramkach logicznych - punkt 1.5 i 1.6 w podpisie
Ten dowód jest absolutny i bezdyskusyjny bowiem można go zademonstrować fizycznie na bramkach logicznych w laboratorium techniki cyfrowej.
2.
Dowód na zbiorach - pkt. 1.2 w podpisie
3.
Dowód iż powyższe równanie to mieszanie różnych punktów odniesienia, czego w implikacji będącej wektorem kierunkowym robić nie wolno - punkt 1.7 w podpisie

Fałszywe równanie:
p=>q = q~>p
obowiązuje wtedy i tylko wtedy gdy nie rozróżniamy banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a, doskonale znanej w praktyce wszystkim 5-cio latkom.

Twierdzenie Kubusia:
Algebra Boole’a bez akceptacji logiki dodatniej i ujemnej jest sprzeczna wewnętrznie i bez sensu.

Z tego powodu w dzisiejszej logice obowiązuje dogmat:
„Logika człowieka nie istnieje, czyli nie jest znana ta wersja implikacji którą posługują się ludzie”

To już historia bo:
NTI = logika człowieka, czyli znana jest już ta wersja implikacji którą posługują się ludzie.

Kwadrat logiczny równoważności na przykładzie:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~Tr=>~KR)

Wnioski:
1.
Udowodnienie warunku koniecznego w punktach A3 albo B1, determinuje prawdziwość wszystkich implikacji w kwadracie A
2.
Udowodnienie warunku wystarczającego w punktach A1 albo B3 o niczym nie rozstrzyga bowiem zdanie może być zarówno implikacją prostą=> jak i równoważnością <=>, to trzeba dopiero udowodnić.
Znane matematykom prawo kontrapozycji:
p=>q # ~q=>~p (NTI - prawdziwość z jednej strony wymusza prawdziwość z drugiej, # bo logiki przeciwne)
nie rozstrzyga rzeczy kluczowej i najważniejszej, implikacja to => czy równoważność <=> - jest wiec psu na budę jest potrzebne.
Oczywiście możemy założyć że dowolne zdanie w kwadracie B spełnia warunek wystarczający i próbować je udowodnić, tak wiec nawet z pozycji łatwiejszego dowodu dzisiejsze prawo kontrapozycji jest bez sensu.
Jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający w kwadracie B to mamy pewność że po przekątnej również zachodzi warunek wystarczający, i co z tego ? … skoro nie mamy kluczowego rozstrzygnięcia: implikacja to => czy równoważność <=>.

Załóżmy, że udowodniliśmy warunek wystarczający p=>q.

Co dalej, jak uzyskać odpowiedź na kluczowe i najważniejsze pytanie:
implikacja to => czy równoważność <=>.

Udowadniając p=>q automatycznie udowodniliśmy ~q=>~p albo odwrotnie … tyle że ta informacja ma wartość zera absolutnego dla naszego kluczowego pytania.

Wygodniej jest tu korzystać z kwadratu logicznego równoważności bowiem znalezienie jednego, jedynego kontrprzykładu w punktach A3 albo B1 rozstrzyga iż twierdzenie jest implikacją prostą => i przynależy do kwadratu A.

Przykład A:
P8=>P2 - zdanie wypowiedziane
~P8=>~P2 =0 bo 2 - kontrprzykład
Wniosek:
Całość to kwadrat logiczny implikacji

Przykład B:
TR=>KR - zdanie wypowiedziane
~TR=>~KR =1 - nie można znaleźć kontrprzykładu
Wniosek:
Całość to kwadrat logiczny równoważności

Wróćmy do tego fragmentu z postu Fizyka:

Co mogę powiedzieć o P2=>P8 ?
P2=>P8 =0 bo 2 - implikacja prosta fałszywa
Koniec analizy tego zdania w NTI

Oczywiście można się tu posłużyć tabela zero-jedynkową:

Dalsza analiza poprzez tabelę zero-jedynkową jest zbędna bowiem fałsz mamy już w pierwszej linii !

Ta sama tabela rozstrzygana przy pomocy operatora AND:

Wnioski:
1.
P2=>P8 =0
bo to nie jest tabela zero-jedynkowa implikacji prostej
2.
P2~>P8=1
bo to jest ewidentna tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.

UWAGA !
W tabeli z operatorem AND jesteśmy izolowani od fenomenalnych praw Kubusia, bowiem praw Kubusia nie da się zapisać operatorami AND czy OR !

Mamy zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo 2
Użyty symbol => to symbol warunku wystarczającego =>.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kwantyfikator duży „dal każdego” /\ = warunek wystarczający „na pewno” =>

Tak wiec twoje rozważania że znajdziesz jakąś tam liczbę są bez sensu.
Twoje rozumowanie oznacza tu słówko „to” dla symbolu =>, natomiast w matematyce symbol => oznacza w implikacji prostej „na pewno” => !
Czy widać różnicę ?

W NTI tez mamy wieloznaczny spójnik „może”:
~> - operator implikacji odwrotnej, „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalne „może”, warunek konieczny tu nie zachodzi

Proponuję zatem współczesnym matematykom:
1.
=> - „to” czyli warunek wystarczający „na pewno” =>, odpowiednik kwantyfikatora „dla każdego” /\
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 wystarcza dla P2, oczywiście oba zdania wyżej są równoważne.
W języku mówionym warunek wystarczający => jest domyślny i możemy go pominąć, natomiast warunek konieczny „może” nie jest domyślny i musi być wypowiedziany. Wyjątkiem są tu groźby gdzie „może” nie musi być wypowiadane na mocy definicji groźby w NTI.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
2.
-> - to jako słówko „to” w języku potocznym, jak w użyciu Fizyka wyżej
Przykład:
Istnieje taka liczba że jeśli jest ona podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2->P8 - to jest dobrze !
Tu nie wolno zapisać:
P2=>P8 - bo to jest idiotyzm w znaczeniu jak wyżej (słówko „to”)

Fizyku znam z dalekiej historii twoje rozumowanie i wiem do czego dojdziesz na końcu … do idiotyzmu oczywiście.

Dowód:
Twierdzenie Fizyka:
Dla p=q (oczywiście chodzi tu o wartości logiczne) zachodzi:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8 ) =1*1 =1 - równoważność
W świetle KRZ będzie p=q dla ciągu:
8,16,24 …
Oczywiście powyższa „równoważność” śmierdzi zgniłymi jajami z wielkiej odległości, to matematyczny IDIOTYZM.

Zauważmy, że równoważne zdanie do powyższego z zastrzeżeniem Fizyka (p=q) jest takie:
Liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 8
P8<=>P8 =1 - to jest oczywista równoważność także w NTI
Gwarantowany ciąg jest tu identyczny: 8,16,24 …
… nie ma tu zgniłych jaj, ale bezsens pozostał, czyli żaden człowiek (nawet normalny matematyk) tego nie wypowie.

i nie potrzeba tu żadnego zastrzeżenia Fizyku !
To twoje, a podejrzewam że innych matematyków również (np. Windziarz), ograniczanie oczywistej implikacji do momentu aż wyjdzie ci równoważność jak wyżej jest bez sensu co widać wyżej.

Oczywiście na mocy definicji równoważność to operacja na dwóch zbiorach !
Gdzie jest ten drugi zbiór ?
Wyjaśnienie dla Idioty który twierdzi że równoważność to operacja na jednym zbiorze …

Dziewicza definicja równoważności :
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Oczywiście z operatorowej definicji równoważności (wyżej) doskonale widać że w równoważności możemy zanegować zmienne z zachowaniem operatorów, zróbmy to:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q = ~p<=>~q
czyli:
P8<=>P8 = ~P8<=>~P8

W rozważanej równoważności mamy zatem do czynienie z dwoma zbiorami:
1.
P8<=>P8
Zbiór liczb podzielnych przez 8:
8,16,24 …
2.
~P8<=>~P8
Zbiór pozostałych liczb naturalnych:
1,2,3 ….
3.
Zbiór P8 jest dopełnieniem zbioru ~P8 w dziedzinie liczb naturalnych, dlatego to jest równoważność a nie implikacja.
Dlatego tu zachodzi tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q


Zobaczmy teraz o co chodzi w implikacji.

Przy okazji udowodnimy na zbiorach iż poprawnie zachodzi :
p=>q # q~>p
co oczywiście rozwala doszczętnie całą dzisiejszą logikę !

Przykład 1.2.1:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
GWA
P=>4L =1 - bo pies. Gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy.
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna jak wyżej, poza nią wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap, albo mieć cztery łapy (rzucanie monetą).
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łapy
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej => dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Zdanie D nie jest implikacją odwrotną ~>.
Dowód nie wprost.
Zakładamy że zdanie D jest implikacja odwrotną i stosujemy prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>4L =0
Prawa strona tożsamości Kubusia to oczywisty fałsz (zdanie B), zatem zdanie D nie może być implikacja odwrotną prawdziwą, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.
CND
Prawdziwość zdania D opisuje równanie:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda np. słoń

Przykład 1.2.2:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
GWB
~4L=>~P =1 np. kura. Gwarancja matematyczna
Poza powyższą gwarancja wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być psem (rzucanie monetą).
W implikacji odwrotnej p~>q gwarancja matematyczna wynika z prawa Kubusia jak wyżej.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie B nie jest implikacją odwrotną.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że zdanie B to implikacja odwrotna i zastosujmy prawo Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Zdanie D to oczywisty fałsz, zatem B nie może być implikacją odwrotną, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Prawdziwość zdania B opisuje równanie:
(4L~>~P)+(4L~~>~P) = 0+1=1
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda np. kura.
CND

Z przykładów 1.2.1 i 1.2.2 wynika że implikacja to zawsze operacje na trzech rozłącznych zbiorach (stanach):

1.
Zbiór wszystkich psów
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
GWA
P=>4L =1 - bo pies. Gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy.
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna jak wyżej, poza nią wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap, albo mieć cztery łapy (rzucanie monetą).

2.
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
GWB
~4L=>~P =1 np. kura. Gwarancja matematyczna
Poza powyższą gwarancja wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być psem (rzucanie monetą).

3.
Zbiór pozostałych zwierząt
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń, koń…
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń, koń …

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.

Z powyższego wynika że:
P=>4L = ~P~>~4L # 4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
GWA: P=>4L # GWB: ~4L=>~P
bowiem poza powyższymi gwarancjami jest trzeci zbiór (słoń, koń..).
Tożsamość zachodziłaby tu wtedy i tylko wtedy gdyby zbiór GWA był dopełnieniem zbioru GWB jak to ma miejsce w równoważności, co zobaczymy za chwilę.

Jeśli za sztywny punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
P=>4L
czyli:
p=P, q=4L
to otrzymamy:
p=>q = ~p~>~q # q~>p = ~q=>~p
czyli:
p=>q # ~q=>~p
To co wyżej to jedyne poprawne prawo kontrapozycji w logice !


Nie poddaj się Fizyku, spróbuj zrozumieć NTI, jest piękna i matematycznie na poziomie i klasy LO. Nie ma tu niczego co by ten poziom przekraczało.

W wytłuszczonym Fizyk ma racje bo:
Twierdzenie matematyczne p=>q = warunek wystarczający (to nie jest operator logiczny !)
… dalej to już zwykłe brednie, czyli bajanie że operator równoważności da się zastąpić iloczynem dwóch implikacji prostych prawdziwych p=>q i q=>p.

Kuriozum takiego myślenia podał Nobody na ateiście.pl, na pewno znakomity matematyk starej ery (przed Kubusiowej )

Humor 1000-lecia, czyli twierdzenie Pitagorasa wypowiedziane w postaci równoważności
Cytat z:
http://www.forum.ateista.pl/showpost.ph ... stcount=37

Twierdzenie Pitagorasa jest w szkole podstawowej, proponuję zatem powyższe umieścić w odpowiednim podręczniku, nie możemy przecież kształcić naszych dzieci na debili … (po przecinku to słowa Macjana)

Tragedię dzisiejszej matematyki widać w linku wyżej, gdzie matematycy są przekonani (z Fizykiem i Uczy=dr. filozofii na czele), że twierdzenie Pitagorasa to implikacja, co jest oczywistym idiotyzmem. Twierdzenie Pitagorasa to bezdyskusyjna równoważność i nigdy nie będzie implikacją prostą.

Gdyby matematycy skorzystali z równoważnej, dziewiczej definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
to by nie mieli problemów z rozstrzygnięciem iż twierdzenie Pitagorasa to równoważność.


Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia

Człowiek używa zdań „Jeśli…to…” tylko i wyłącznie w pięciu różnych znaczeniach. Poprawna matematyka która rości sobie prawo do opisu matematycznego naturalnego języka mówionego musi umieć rozpoznawać wszystkie takie zdania. Jedyną znaną człowiekowi logiką która to robi jest Nowa Teoria Implikacji.

1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
2.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania. Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
3.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Warunek konieczny wymusza implikację odwrotną bo:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q
W sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
4.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa
5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.

Link do Nowej Teorii Implikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,1 ... tml#113906

Do czytelników

To jest końcowy efekt 5-cio letniej wojny o rozszyfrowanie dokładnie tej wersji implikacji którą posługują się ludzie, nieznanej człowiekowi. Szczególnie pasjonująca i owocna była ostatnia, 12 miesięczna dyskusja na ateiście.pl (około 1900 postów) ze znakomitymi matematykami i logikami: Fizykiem, Windziarzem i Sogorsem. To dzięki nim NTI przybrała kształt ostateczny jak niżej.

Link do oryginału:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji-algebra-kubusia,5357.html#128911

Kluczowy fragment z oryginału …

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Algebra Kubusia
Nowa Teoria Implikacji


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Najważniejsze zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Wstęp:

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.

Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na równaniach algebry Boole’a, zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.

W całej publikacji będziemy używać zamiennie:
Nowa Teoria Implikacji = algebra Kubusia


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

2.0 Nowa Teoria Implikacji w pigułce
2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu
2.2 Prawo Prosiaczka
2.3 Operatory OR i AND
2.4 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR
2.5 Operatory implikacji i równoważności
2.6 Równanie ogólne dla operatorów implikacji
2.7 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI
2.8 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Fundamenty algebry Boole’a
3.5 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i NTI
3.6 Abstrakcyjny model operatora logicznego
3.7 operatory logiczne FILL i NOP
3.8 Operatory P i Q
3.9 Operatory negacji NP i NQ

4.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
4.1 Suma logiczna OR
4.2 Iloczyn logiczny AND
4.3 Operatory implikacji
4.4 Definicje implikacji w NTI
4.5 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p=>q
4.6 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p~>q
4.7 Podsumowanie dowodu wewnętrznej sprzeczności KRZ

5.0 Fantastycznie prosta algebra Kubusia
5.1 Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
5.2 Definicje zero-jedynkowe spójników w implikacji
5.3 Rzeczywista budowa operatorów implikacji i równoważności

6.0 Algebra Kubusia w zbiorach
6.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
6.2 Implikacja prosta w zbiorach
6.3 implikacja odwrotna w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

# - różne
Fundament algebry Boole’a w teorii zero-jedynkowej:
1=prawda
0=falsz
A.
1#0
Prawda # fałsz

Fundament symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia) w zmiennych binarnych:
Y=prawda
~Y=fałsz
B.
Y # ~Y
prawda # fałsz
co matematycznie oznacza:
C.
Y=1 # ~Y=1
Zauważmy, że to jedyny poprawny sposób zapisania B w taki sposób, aby było widać zmienne Y i ~Y po obu stronach znaku #.
Oczywiście równanie C możemy zapisać tak:
Jeśli ~Y=1 to Y=0
stąd:
D.
Y=1 # ~Y=1 = Y=0
czyli:
E.
Y=1 # Y=0
gdzie:
1=prawda
0=fałsz
Zauważmy jednak, że de facto wylądowaliśmy w zero-jedynkowej algebrze Boole’a (A) a nie symbolicznej algebrze Boole’a (C), że tych zer i jedynek z równania E nie sposób się pozbyć.

Zauważmy, że wszelkie prawa algebry Boole’a podawane są w równaniach algebry Boole’a gdzie nie ma najmniejszego śladu bezwzględnych zer i jedynek np.
A.
Y=p+q
Matematycznie:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez wymianę operatorów i negację zmiennych
B.
~Y=~p*~q
Matematycznie:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
Y – funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y – brak przeczenia)
~Y – funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y – jest przeczenie)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=1 # ~Y=1
Y # ~Y
bo to dwie przeciwne logiki

Matematyczny związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Co matematycznie oznacza:
p=1 lub q=1 = ~(~p=1 i ~q=1)

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) <=> pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Prawo de’Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Stąd zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
czyli:
Y=1 <=> ~(~K=1 i ~T=1)

Świętość algebry Kubusia:
1 = prawda
0 = fałsz
Zawsze i wszędzie, niezależnie od tego czy jest to logika dodatnia czy też ujemna

## - różne na mocy definicji
A.
Na mocy definicji zero-jedynkowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy:
p=>q=~p~>~q=1 ## p~>q=~p=>~q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.
B.
Na mocy definicji zero-jedynkowych operatorów OR(+) i AND(*) mamy:
p+q=~(~p*~q)=1 ## p*q=~(~p+~q)=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

W tym przypadku parametry formalne p i q po lewej stronie nie mają żadnego związku matematycznego z parametrami formalnymi p i q po prawej stronie.
Po obu stronach znaku ## pod parametry formalne możemy podstawić cokolwiek.
W implikacji mamy zatem taki przypadek:
P8=>P2=~P8~>~P2=1 ## P2~>P8=~P2=>~P8=1


1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane.

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.



Wszystkich możliwych operatorów logicznych jest 16 z czego człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu: AND, NAND, OR, NOR, <=>, XOR. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym. Wyjątkiem jest tu operator XOR, w języku mówionym spójnik „albo”.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


2.0 Nowa Teoria Implikacji w pigułce

Istota NTI:
1.
Użyty spójnik logiczny oraz analiza symboliczna zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q decyduje o tym czym jest wypowiedziane zdanie.
2.
Determinizm, czyli z góry znane wartości logiczne p i q zabija wszystko, zarówno definicję OR i AND, jak i definicje implikacji i równoważności.

Istota NTI to działanie na równaniach algebry Boole’a a nie na tabelach zero-jedynkowych.

Twierdzenie 1
Każdą tabele zero-jedynkową można zapisać w równaniu algebry Boole’a i odwrotnie, z każdego równania algebry Boole’a można wygenerować równoważną tabelę zero-jedynkową

Twierdzenie 2
Dowolną tabelę zero-jedynkową która w wyniku nie ma samych jedynek (operator FILL) albo samych zer (operator NOP) i nie jest operatorem jednoargumentowym (P, Q, NP., NQ) można zapisać przy pomocy n równoważnych równań algebry Boole’a gdzie:
n=8 – dla dowolnej tabeli opisanej operatorami AND i OR
n=2 – dla opisu definicji implikacji i równoważności operatorami implikacji i równoważności

Definicje implikacji to prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej p=>q w równaniu algebry Boole’a
n1=p=>q
n2=~p~>~q

p~>q = ~p=>~q – definicja implikacji odwrotnej ~> w równaniu algebry Boole’a
n1=p~>q
n2=~p=>~q
Stąd n=2

Definicja równoważności:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q) – definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a
n1=p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
n2=~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
stąd n=2
gdzie:
p=>q, ~p=>~q – warunki wystarczające, to nie są implikacje proste.

W naturalnym języku mówionym każdy 5-cio latek operuje biegle równaniami algebry Boole’a, dzięki czemu to samo może wyrazić na wiele różnych sposobów.


2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu

Przyjrzyjmy się bliżej matematyce, którą posługuje się każdy przedszkolak.

Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1) jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y) gdy którakolwiek zmienna (K lub T) zostanie ustawiona na 1
… a kiedy skłamię ?
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Skłamię (~Y) gdy obie zmienne (~K i ~T) zostaną ustawione na 1

Koniec !
To jest cała matematyka, którą każdy człowiek od przedszkolaka po profesora używa milion razy na dobę. Jak widać mózg przedszkolaka na pytanie „Kiedy skłamię ?” odpowiada w logice ujemnej.

Definicja logiki ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nietrudno zauważyć, jak mózg dziecka przechodzi z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y), po prostu neguje wszystkie zmienne i wymienia operator na przeciwny. Nietrudno też się domyśleć, że to jest poprawny sposób przejścia do logiki ujemnej dla dowolnie długiej funkcji logicznej.

Metoda przedszkolaka:
Przejście z logiki dodatniej (Y) do ujemnej (~Y) lub odwrotnie uzyskujemy negując wszystkie zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.

Przykład:
A: Y=A+(~B*C)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B: ~Y = ~A*(B+~C)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C: Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana.
A+(~B*C) = ~[~A*(B+~C)]

Łatwo zauważyć, że z prawa de’Morgana mózg dziecka praktycznie nigdy nie korzysta … chyba że w fazie poznawania języka, kiedy to dwulatek zadaje wszelkie możliwe pytania.

Popatrzmy na to jeszcze raz, delektując się genialną matematyką która posługuje się każde dziecko.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1) jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y = ~K*~T

Już dziecko pięcioletnie nie będzie zadawało więcej pytań bo wszystko jest jasne, trzylatek może jednak kontynuować.

… a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru ?
Ostatnie zdanie w dialogu:
~Y=~K*~T
Negujemy dwustronnie i mamy odpowiedź na temat, czyli zgodną z zadanym pytaniem.
Y=~(~K*~T)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru

Na powyższe pytanie można odpowiedzieć inaczej:
Jutro na pewno pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Jednak nie będzie to ścisła odpowiedź na zadane pytanie, dlatego mało kto tak odpowie.


2.2 Prawo Prosiaczka

Prawo Prosiaczka mówi o sposobie przejścia z tabeli zero-jedynkowej n-elementowej do równania algebry Boole’a opisującego tą tabelę.

Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:


Kubuś, nauczyciel logiki w I klasie LO w stumilowym lesie:
Kto potrafi z powyższej tabeli zero-jedynkowej wygenerować równanie algebry Boole’a ?

Wszystkie ręce w górze, do tablicy podchodzi Jaś:
W ostatniej linii w wyniku mamy samotne zero, zatem dla tej linii możemy zapisać najprostsze równanie.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I.
Sprowadzam wszystkie zmienne do jedynki dzieli czemu w równaniu algebry Boole’a możemy się pozbyć bezwzględnych zer i jedynek:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=0 czyli ~p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = ~p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując wszystkie zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y = p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność zapisu z naturalną logiką człowieka.
W równaniu algebry Boole’a mamy OR(+) - spójnik „lub”:
Y=p+q
natomiast w szczegółowej rozpisce mamy AND(*) - spójnik „i”:
Y=0 <=>p=0 i q=0
dlatego to jest logika ujemna.

W równaniu A wszystkie zmienne są równe zeru, zatem tu nic nie musimy robić, od razu mamy równanie algebry Boole’a dla powyższej tabeli zero-jedynkowej.
Y=p+q

Kubuś:
Jasiu, zapisałeś równanie algebry Boole’a wyłącznie dla ostatniej linii, skąd wiesz jakie będą wartości logiczne w pozostałych liniach, nie opisanych tym równaniem ?

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniem linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Kubuś:
Z tego co mówisz wynika, że dla powyższej tabeli można ułożyć równoważne równania dla linii z jedynkami w wyniku, czy potrafisz je zapisać ?

Jaś:
Postępujemy identycznie jak wyżej !
Korzystnie jest tu przejść do tabeli symbolicznej w logice dodatniej przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Stąd mamy definicję sumy logicznej w wersji symbolicznej:

Stąd równoważne równanie algebry Boole’a dla samych jedynek (Y) przybierze postać:
C.
Y=p+q = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Z powyższym równaniem możemy przejść do logiki ujemnej negując sygnały i wymieniając operatory na przeciwne.
D.
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Negujemy stronami przechodząc do logiki dodatniej:
Y = ~[~p*~q] = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Z powyższego wynika że to samo zdanie:
Y=p+q
możemy wypowiedzieć na wiele różnych sposobów.

W naturalnym języku mówionym najczęściej używamy formy najprostszej jak wyżej. Część z możliwych zdań równoważnych będzie dla człowieka trudno zrozumiała.

Przykład:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów.
A2.
Skłamię (~Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd:
Y = K+T = ~(~K*~T)
A3.
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = K+T = ~(~K*~T)
A4.
Wyłącznie negujemy równanie A1:
~Y = ~(K+T)
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…), że jutro pójdę do kina lub do teatru

Analogiczną serie zdań otrzymamy dla równań równoważnych ułożonych dla jedynek w definicji zero-jedynkowej sumy logicznej.
B1.
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa, jeśli wystąpi którekolwiek zdarzenie:
K*T – byłem w kinie i w teatrze
K*~T – byłem w kinie i nie byłem w teatrze
~K*T – nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Oczywiście wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń ma szansę wystąpić w rzeczywistości.

… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem B1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
B2.
~Y = (~K+~T)*(~K+T)*(K+~T)
Negujemy dwustronnie i mamy kolejne możliwe zdanie:
B3.
Y = ~[(~K+~Y)*(~K+T)*(K+~T)]
Ostatnie możliwe zdanie otrzymujemy negując dwustronnie B1:
B4.
~Y= ~[(K*T)+(K*~T)+(~K*T)]

Mamy wyżej fantastyczną możliwość powiedzenia tego samego na wiele różnych sposobów. Wszystkie zdania z wyjątkiem B2 i B3 są dla przeciętnego człowieka zrozumiałe !
Zdania B2 i B3 to rozbudowane zdania ze zmiennymi w logice ujemnej w stosunku do zdania wypowiedzianego A1.


2.3 Operatory OR i AND

Definicja operatora OR:

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=K+T – logika dodatnia bo Y
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K*~T – logika ujemna bo ~Y
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
K+T = ~(~K*~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora OR to złożenie spójników „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
to definicja operatora OR zapisana w równaniu algebry Boole’a !

Definicja operatora AND:

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
czyli matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
K*T = ~(~K+~T)

Wnioski:
1.
Definicja operatora AND to złożenie spójników „i” w logice dodatniej ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej
2.
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny
3.
Prawo de’Morgana zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej.
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
to definicja operatora AND zapisana w równaniu algebry Boole’a !


2.4 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR

Na mocy definicji zachodzi:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)

Po obu stronach znaku ## mamy dwie fundamentalnie różne definicje zero-jedynkowe zapisane w równaniu algebry Boole’a.

Dowód dla lewej strony.
Y=p+q = ~(~p*~q)
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q – na mocy definicji spinka „lub” w logice dodatniej bo Y
~Y=~p*~q – spójnik „i” w logice ujemnej bo ~Y
Po zapisaniu powyższego w tabeli symbolicznej mamy:

Przyjmując kodowanie powyższej tabeli w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową sumy logicznej

CND

Dowód dla prawej strony
Y=p*q=~(~p+~q)
stąd:
Y=p*q – spójnik „i” w logice dodatniej bo Y
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q – na mocy definicji sumy logicznej w logice ujemnej bo ~Y
Zapisujemy powyższe w tabeli symbolicznej:

Po zakodowaniu powyższej tabeli w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową iloczynu logicznego

CND
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Jest fizycznie nie możliwe, aby dla dowolnych p i q kiedykolwiek zaszła tożsamość „=” zamiast ##

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
p=K
q=T
Jutro pójdę do teatru i do kina
Y=T*K
p=T
q=K
Matematycznie zachodzi:
K+T = ~(~K*~T) ## T*K = ~(~T+~K)
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Po obu stronach znaku ## pod zmienne formalne p i q możemy podstawiać cokolwiek, bowiem nie istnieją żadne związki matematyczne łączące strony rozdzielone znakiem ## - to dwie fundamentalnie inne definicje zero-jedynkowe.

W operatorach AND i OR zachodzi przemienność argumentów:
p+q=q+p
p*q=q*p

Dlatego tu nawet w tożsamości matematycznej:
p+q = ~(~q*~p)
Możemy sobie rzucać monetą ustalając p i q po obu stronach tożsamości

W implikacji, co zobaczymy za chwilę, taki manewr jest niedozwolony.


2.5 Operatory implikacji i równoważności

Implikacja odwrotna

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:

Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Stąd w sposób naturalny mamy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
… i definicję implikacji odwrotnej !

Definicja implikacji odwrotnej:

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Plus musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym (prawem Kubusia)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi

Z powyższego wynika że:
1.
Warunek konieczny (spójnik „może” ~>) = definicja implikacji odwrotnej
2.
Definicja zero-jedynkowa naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.

3.
Operator implikacji odwrotnej to złożenie spójnika „może” ~> w logice dodatniej (bo q - niezanegowane) ze spójnikiem „musi” => w logice ujemnej (bo ~q - zanegowane)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
stąd:
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a

Przykład implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 1,3,5,7… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0
0 1 =0
Doskonale widać definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Doskonale widać że definicja implikacji odwrotnej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.

Zdanie B nie może być implikacja odwrotną
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B jest implikacja odwrotną i zastosujmy wyrocznie implikacji, prawo Kubusia:
B: P2~>~P8 = D: ~P2=>P8=0
Prawa strona jest fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą, warunek konieczny tu nie zachodzi

Implikacja prosta

Analogiczna definicja implikacji prostej:

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Plus dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Wnioski:
1.
Operator implikacji prostej to złożenie spójnika „musi” => w logice dodatniej (bo q) ze spójnikiem „może” ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
stąd:
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
2.
Operator implikacji prostej => to fundamentalnie co innego niże spójniki „musi” => i „może” ~>

Przykład implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24… Gwarancja matematyczna, istota implikacji
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0
1 0 =0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 1,3,5,7…
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
0 1 =1
Wnioski:
1.
Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
2.
Doskonale widać że definicja implikacji prostej to trzy rozłączne zbiory a nie dwa jak twierdzi „teoria mnogości”.
3.
Doskonale widać, że spełnienie warunku wystarczającego po stronie p=>q niczego nie gwarantuje bo to może być równoważność, jeśli po stronie ~p zachodzi kolejny warunek wystarczający:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) – definicja równoważności <=>

albo implikacja prosta jeśli po stronie ~p zachodzi warunek konieczny:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej =>

To wytłuszczone to identyczne warunki wystarczające, w naturalnej logice człowieka nie do rozpoznania bez odpowiedniej analizy matematycznej zdania p=>q.


Równoważność

Jedynie słuszna definicja równoważności w dzisiejszej matematyce to pewne wynikanie w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*1=1
Na bazie tej definicji plus definicji „implikacji materialnej” matematycy zbudowali teorię mnogości, błędnie głoszącą iż:
Równoważność = jeden zbiór
Implikacja = dwa zbiory

Okrutna rzeczywistość jest fundamentalnie inna (NTI):
równoważność = dwa zbiory
implikacja = trzy zbiory
Na mocy odpowiednich definicji zero-jedynkowych

Aksjomatyczna definicja zero-jedynkowa równoważności:

Dziewicza definicja równoważności na podstawie powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Wniosek:
Równoważność to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i kolejnego warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)

W równoważności (i tylko tu) prawdziwe jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q =q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Gdzie po prawej stronie mamy definicje warunków wystarczających o definicji zero-jedynkowej:

Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że kolejna linia nie ma prawa wystąpić czyli:
p=>~q=0
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p itd.

Gdzie zapisy typu:
p=>q, q=>p, ~p=>~q
to tylko i wyłącznie warunki wystarczające o definicji jak wyżej, to nie są implikacje proste !

Definicja dziedziny:
Dziedziną w równoważności i implikacji jest zawsze zbiór p+~p

Definicja zbioru aktualnego:
Zbiorem aktualnym w równoważności albo implikacji jest zbiór na którym operujemy.
Możliwości mamy tylko dwie:
p – zbiór p z dziedziny p+~p
~p – zbiór ~p z dziedziny p+~p
Zbiór aktualny zawsze definiowany jest w poprzedniku p.

Oczywiście widać tu jak na dłoni metody badania czy warunek wystarczający między p i q występuje,

Sposób I
Badamy czy dla każdego p zachodzi q

Sposób II
Szukamy jednego zdania spełniającego:
p~~>q =1
po czym szukamy kontrprzykładu czyli zdania:
p~~>~q=1
Brak kontrprzykładu dowodzi iż warunek wystarczający p=>q jest spełniony.
Gdzie:
p~~>q – naturalne „może”, wystarczy jeden przypadek prawdziwy

Przykład równoważności:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
TR=>BR=1
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
TR=>~BR=0
1 0 =0
… a jeśli nie ma boków równych ?
Na mocy twierdzenia Rexerexa:
TR=>BR = ~TR=>~BR
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~TR=>~BR=1
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
~TR=>BR=0
0 1 =0
Doskonale widać definicje zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
BR=1, ~BR=0
Doskonale widać, że równoważność to dwa rozłączne zbiory TR i ~TR a nie jak twierdzi „teoria mnogości” jeden zbiór.


2.6 Równanie ogólne dla operatorów implikacji

Na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## mamy dwie fundamentalnie inne definicje zero-jedynkowe:
p=>q = ~p~>~q – definicja implikacji prostej => w równaniu algebry Kubusia
p~>q = ~p=>~q – definicja implikacji odwrotnej ~> w równaniu algebry Kubusia

Dowód dla lewej strony:

Kodując zmienne w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej =>

CND

Dowód dla prawej strony:

Kodując zmienne w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~>

CND

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## pod parametry p i q możemy podstawiać cokolwiek, bowiem nie istnieją żadne związki matematyczne łączące obie strony ##.

Sprawdźmy teraz czy argumenty w implikacji są przemienne. To najważniejsza i kluczowa sprawa dla wszelkich naszych przyszłych poczynań.

Argumenty w operatorach implikacji nie są przemienne czyli:
p=>q # q=>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
P8=>P2=1 # P2=>P8=0 bo 2

p~>q # q~>p
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
P2~>P8=1 # P8~>P2=0

Dowód iż P8~>P2=0 jest banalny.
Wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0 bo 2
Prawa strona jest fałszem, zatem lewa strona nie może być implikacja odwrotną prawdziwą.

Ogólnie zachodzi:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
dla dowolnych p i q !
Przykład:
Jeśli P8=>P2=1 to P2=>P8=0

Odwrotnie nie zachodzi:
Jeśli p=>q=0 to q=>p=1
bo kontrprzykład:
Jeśli P8=>P3=0 to P3=>P8=0

Zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Jest prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, to nie jest implikacja odwrotna.

Wracamy do równania ogólnego implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów dlatego w tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
musimy zachować identyczne p i q

Przykład:
Lewa strona równania ogólnego implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16,24 … - gwarancja matematyczna
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Dla lewej strony równania ogólnego implikacji ustalamy:
p=P8
q=P2

Prawa strona równania ogólnego implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 1,3,5… - gwarancja matematyczna
Dla prawej strony równania ogólnego implikacji ustalamy:
p=P2
q=P8

Równanie ogólne implikacji dla naszego przykładu:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8

Stąd w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2=1 ## ~P2=>~P8=1

Dla sztywnego punktu odniesienia:
p=P8
q=P2
otrzymujemy prawo kontrapozycji w implikacji w takiej formie:
p=>q=1 ## ~q=>~p=1

W implikacjach bezczasowych warunek wystarczający p=>q po lewej stronie wymusza warunek wystarczający po prawej stronie ~q=>~p, ale między obiema stronami nie istnieją żadne związki matematyczne.
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>4L = ~P~>~4L=1 ## 4L~>P = ~4L=>~P=1
Prawo kontrapozycji w NTI:
P=>4L=1 ## ~4L=>~P=1
B.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1

Oczywiście żaden 5-cio latek nie będzie miał problemu z wypowiedzeniem A i B, ale nie zachodzi tożsamość matematyczna miedzy tymi zdaniami, bowiem na mocy równania ogólnego implikacji po obu stronach mamy do czynienia z fragmentami zupełnie innych definicji zero-jedynkowych.

W implikacjach z następstwem czasowym powyższe nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli będzie padać to otworze parasolkę
P=>O=1
Równanie ogólne implikacji:
P=>O = ~P~>~O =1 ## O~>P = ~O=>~P =0
Prawo kontrapozycji:
P=>O=1 ## ~O=>~P=0
czyli:
Jeśli nie otworze parasolki to na pewno => nie będzie padać
~O=>~P=0 – oczywiście zdanie fałszywe

Doskonale tu widać poprawność symbolu ## w powyższym równaniu, czyli lewa strona jest bez związków matematycznych z prawą stroną.
Zdanie po prawej stronie znaku ## nie wypowie żaden 5-cio latek bo to jest zdanie fałszywe czyli:
~O=>~P=0


2.7 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI

Przy pomocy tych definicji można skutecznie i łatwo rozstrzygać czy zdanie jest implikacją prostą =>, implikacja odwrotną ~> czy też równoważnością. Definicje te wynikają bezpośrednio z tabel zero-jedynkowych odpowiednich operatorów logicznych w interpretacji NTI.

Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:

Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Definicja warunku koniecznego ukierunkowana na zajście warunku ~p=>~q

W tej definicji kompletnie nas nie interesuje wartość logiczna linii drugiej:
x={0,1}
Tu może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja odwrotna

Interesują nas tu relacje między zbiorami po stronie p i q

Jeśli p to q
Warunek konieczny zachodzi gdy:
Jeśli zabierzemy zbiór p to musi => zniknąć zbiór q !

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo:
Zabieramy zbiór P2, oczywiście znika nam zbiór P8
Wniosek:
P2 jest konieczne dla P8
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2=0 bo:
zabieramy zbiór P8, oczywiście zbiór P2 nie znika, zostają liczby:
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Wniosek:
P8 nie jest konieczne dla P2
Zdanie 2 jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda:
P8~~>P2=1 bo 8
ale to nie jest implikacja odwrotna.

3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~>P8=0 bo:
Zabieramy zbiór liczb podzielnych przez 3:
P3=3,6,9….
a po stronie q zostaje nam jedna liczba:
P8=8
To wystarczy !
P3 nie jest konieczne dla P8
Zdanie 3 jest prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>
P3~~>P8=1 bo 24
ale to nie jest implikacja odwrotna.

Definicja warunku wystarczającego ukierunkowana na zajście warunku wystarczającego p=>q:

W tym przypadku nie interesuje nas stan logiczny ostatniej linii bowiem o zachodzeniu warunku wystarczającego decydują dwie pierwsze linie i relacje między zbiorami po stronie p i q.

W ostatniej linii może być cokolwiek:
0 – równoważność
1 – implikacja prosta

Przykłady:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24 …
Oczywiście P8 wystarcza dla P2
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P2=>P8=0 bo 2

Zauważmy, że iloczyn logiczny tabel 1 i 2 to definicja równoważności bowiem w odpowiednich liniach
x*0=0

Definicja równoważności ukierunkowana na relacje między zbiorami p i q:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) =1*1=1
gdzie:
p~>q
Warunek konieczny w interpretacji na zbiorach:
Jeśli zabierzemy zbiór p i musi zniknąć zbiór q
p=>q
Warunek wystarczający między p i q

Nieznane definicje implikacji i równoważności:
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego w działaniach na zbiorach co widać w tabelach 1 i 2.
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w zbiorach.
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w zbiorach.
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR i konieczny BR~>TR
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)


2.8 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

Zdanie „Jeśli …to…” może mieć w logice tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń:

1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia = definicja implikacji prostej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…

2.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania.
Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

3.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
Plus musi być spełnione prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
z czego wynika że p musi być warunkiem koniecznym dla q
Definicja warunku koniecznego autorstwa wykładowcy logiki Volratha:
Jeśli p jest konieczne ~> dla q to zajście ~p wymusza => zajście ~q
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Prawo Kubusia = definicja implikacji odwrotnej
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1

4.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna jest tu fałszywa

5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.

Koniec 2010-12-24

Ciąg dalszy:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/nowa-teoria-implikacji-algebra-kubusia,5357.html#128911

Link do oryginału publikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/algebra-kubusia-podrecznik-dla-liceum,5417.html#131091

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12



Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Algebra Kubusia dla matematyków:
Nowa Teoria Implikacji (algebra Kubusia)
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

2.0 Twierdzenie ŚFINII
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

3.0 Operatory logiczne
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.4 Równanie ogólne implikacji
3.5 Równoważność

4.0 Algebra Kubusia - OR i AND
4.1 Spójnik OR(+) i operator OR (+)
4.2 Spójnik AND(*) i operator AND(*)
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

5.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
5.1 Obietnica
5.2 Groźba

6.0 Algebra Kubusia w pigułce


Wstęp.

Algebra Kubusia jest jednocześnie trywialna, bo posługują się nią w praktyce wszyscy od 5-cio latka po starca i trudno zrozumiała jeśli patrzy się na nią poprzez pryzmat zer i jedynek.

W algebrze Kubusia występują zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 które wszyscy doskonale znamy.

Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, a nie ja tworzy. Gdyby mózg człowieka nie podlegał pod algebrę Kubusia, nie byłoby komputerów ... nie byłoby nas, nie byłoby naszego Wszechświata.

Wbrew powszechnemu wśród matematyków przekonaniu, to naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych. Z tego powodu podejdziemy do logiki z zupełnie innej strony, pokażemy jak naturalny język człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zapisując je na końcu w postaci tabel zero-jedynkowych.

Wykład algebry Kubusia zaczynamy od implikacji i równoważności. Dla ułatwienia pominiemy tu operatory AND(*) i OR(+) jako zbędne, mogące jedynie zaciemnić obraz trywialnej logiki 5-cio latka.

W praktyce języka mówionego człowiek miesza wszystkie operatory, jednak w 95% w implikacji i równoważności nikt nie używa operatorów AND(*) i OR(+).

W końcowej części podręcznika zajmiemy się operatorami OR(+) i AND(*) oraz zastosowaniem algebry Kubusia w obsłudze gróźb i obietnic.

W algebrze Kubusia, po raz pierwszy w historii ludzkości zostały poprawnie zinterpretowane wszystkie możliwe definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
... a to oznacza, że algebra Kubusia jest KOMPLETNA, zupełna i niesprzeczna.

Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, zarówno żywego jak i martwego.

W podręczniku będziemy używać zamiennie:
Algebra Kubusia = Nowa teoria implikacji


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
~ - symbol przeczenia NIE(~)
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda

A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U


1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

Algebra Kubusia w pigułce – pkt.6.0

Prawa Kubusia na poziomie spójników:
Prawo zamiany warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany spójnika „musi” => na spójnik „może” ~>
Prawo zamiany warunku koniecznego ~> na warunek wystarczający =>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany spójnika „może” ~> na spójnik „musi” =>

Definicja ogólna spójnika „Jeśli … to …”
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik

O tym czym jest wypowiedziane zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” decyduje zarówno użyty spójnik, jak i treść zawarta w spójniku.

Warunek wystarczający:
Warunek wystarczający => między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego p zachodzi q

Definicja warunku wystarczającego to zaledwie dwie linie tabeli zero-jedynkowej:

Definicja słowna:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” między p i q

Jeśli dla każdego p zachodzi q
To zajście p i zajście ~q jest niemożliwe, co widać w powyższej tabeli.

Twierdzenie ŚFINII:
W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.

Dowód:
Twierdzenie ŚFINII wynika bezpośrednio z prawa Kubusia.
p~>q = ~p=>~q
Dowód formalny prawa Kubusia Jest banalny i oczywisty dla każdego matematyka.

Powyższe prawo Kubusia mówi, że warunek konieczny p~>q w logice dodatniej (bo q niezanegowane) jest równoważny warunkowi wystarczającemu ~p=>~q w logice ujemnej (bo q zanegowane).

Warunek wystarczający w logice ujemnej to tylko i wyłącznie dwie linie tabeli zero-jedynkowej:

Warunek ten występuje wyłącznie w implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> (pkt.6.0).

Dziewicza definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
… i poniższe definicje implikacji i równoważności, zgodne z intuicją człowieka

Alternatywne definicje implikacji i równoważności w NTI
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Na mocy powyższych definicji mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.


2.0 Twierdzenie ŚFINII

Twierdzenie ŚFINII to najważniejsze twierdzenie w logice, fundament NTI.
ŚFINIA, forum dyskusyjne Wuja Zbója, Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania NTI krok po kroku.

Gdyby nie ŚFINIA algebra Kubusia nigdy by nie powstała, stąd najważniejsze twierdzenie nosi nazwę twierdzenia ŚFINII.

Pani do dzieci w przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1
Czy chmury są konieczne aby jutro padało ?

Jas (lat 5):
Tak proszę Pani.
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !
=> - spójnik „na pewno” => miedzy p i q

Stąd definicja warunku koniecznego każdego 5-cio latka:
Zabieramy p i musi zniknąć q, wtedy i tylko wtedy zachodzi warunek konieczny między p i q

Matematycznie oznacza to …

Twierdzenie ŚFINII:

W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Czyli:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
Dowód twierdzenia ŚFINII w punkcie 6.0

Działanie twierdzenia ŚFINII pokażemy na przykładach:

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa
Warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Oczywista prawda, zatem w zdani A zachodzi warunek konieczny.

B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Oczywisty fałsz, stąd w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P=0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik, wtedy i tylko wtedy w zdaniu C zachodzi warunek konieczny, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7…
Oczywista prawda, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny

D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 bo 3
Wniosek:
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny między p i q:
P2~>~P8=0
Zdanie to jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

E.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu E nie zachodzi warunek konieczny
~P8~>P2=0

F.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24…
Wniosek:
W zdaniu F zachodzi warunek konieczny miedzy p i q

G.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
W zdaniu G nie zachodzi warunek konieczny
P8~>P2=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

H.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P3=>~P8=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu H nie zachodzi warunek konieczny:
P3~>P8=0
Zdanie G jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnik „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Jak widzimy, twierdzenie ŚFINII, fundament NTI, działa doskonale.


2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Dla dowolnej liczby, jej niepodzielność przez 2 wystarcza dla niepodzielności przez 8
~P2 wystarcza dla ~P8
Zatem w zdaniu A warunek konieczny zachodzi.

Sprawdzamy teraz zachodzenie warunku p=>q dla zdania A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej bo:
P2~>P8=1
P2=>P8=0
CND


2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Dla dowolnej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
Zatem P8 wystarcza dla P2
CND
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny w kierunku P8~>P2:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
A2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0 bo 2
zatem w zdaniu A1 nie zachodzi warunek konieczny:
P8~>P2=0
Zdanie A1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
P8~~>P2=1 bo 8

Dla zdania A mamy zatem:
P8=>P2=1
P8~>P2=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicje implikacji prostej.


2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR=1
Oczywiście dla dowolnego trójkąta równobocznego na pewno zachodzą równe kąty
Zatem TR wystarcza dla KR
CND
Sprawdzamy teraz czy zachodzi warunek konieczny w kierunku TR~>KR:
A1
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może mieć kąty równe
TR~>KR
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
Twarda prawda zatem warunek konieczny w kierunku TR~>KR zachodzi

Zatem dla zdania A mamy:
TR=>KR=1
TR~>KR=1
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję równoważności

Oczywiście zdanie A możemy tez wypowiedzieć w następujący sposób:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = 1*1=1
gdzie:
TR=>KR=1 – spełniony warunek wystarczający w kierunku p=>q
TR~>KR=1 – spełniony warunek konieczny w kierunku p~>q


Link do oryginału publikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/algebra-kubusia-podrecznik-dla-liceum,5417.html#131091

Rafal3006 !



Wybacza , ale niemam motywacji by przysfoić język matematyczny logiki .
Piszesz jednak , że twoja madyfikacja logiki służy usunięciu paradoksów z logiki i jest zgodna z językiem potocznym opisującym otaczającą nas rzeczywistość .

Podajesz taki oto przykład :
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony = Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony .

Jak najbardziej trudno się niezgodzić z tym stwierdzeniem . Nie dziwi mnie też że matematyczny zapis prowadzący do tego wniosku jest OK .
Nie rozumiem jednak twojego komentarza mówiącego że :

"W obu tych zdaniach wierzący w Chrystusa mają gwarancję zbawienia, natomiast z niewierzącymi Chrystus może zrobić co mu się podoba, w skrajnym przypadku wszyscy możemy wylądować w niebie i Chrystus nie będzie kłamcą.
"

Nie mogę pojąć "logiki" stojącej za tym wnioskiem .
Uważasz że to zgodne z logiką normalnych ludzi ?

Dla mnie od zawsze oczywiste było [ jak i dla wszystkich chyba ] że jak ktoś mówi :
"Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony " to znaczy że bez wiary niema najmniejszych szans ani możliwości na zbawienie [ a nie że , jeszcze nie wiadomo jak to będzie ] .

Jak ktoś mówi :
Kto [ nie będąc zwolnionym z tego obowiązku ] nie wykupił biletu autobusowego jadąc autobusem nie jest uczciwym człowiekiem. - to jest dla mnie zrozumiałe że jest złodziejem , a nie że dopiero się będziemy namyślać czy jest złodziejem czy niejest .

Logicznym wydaje mi się także rzekomy paradoks wynikania prawdy z fałszu [ np. jeśli kółko jest kwadratowe to księżyc krąży wokół ziemi ] .
Z fałszu może wynikać wszystko [ którą to prawdę lubie upowszechniać ].
Jest to zgodne z obserwcją otaczającego nas świata.
Ponieważ z fałszu może wynikać wszystko , to załozywszy probabilistyczny chrakter wynikających twierdzeń blisko połowa z nich powinna być prawdziwa .

Logika to uporządkowanie które odkrywamy pośród swoich doznań .
Wynikanie niekiedy prawdy z fałszu to obserwowany fakt .
Np. jeśli powiem :
Krasnoludki natychmiast obedrą cię ze skury jesli będziesz kradł => powinieneś dla włąsnego dobra niekraść .

jest to przykładem jak z urojonego [ fałszywego ] twierdzenia wnioskuje o prawdziwym [ tylko z innego powodu ] . Zasadę tę "łapią" nawet pięcioletnie dzieci często wymyślając urojone uzasadnienia dla racjonalnych ze swojego punktu widzenia wniosków [ by przekonać innych ].

Dlatego też sądze , że twoja Kubusiowa logika może być matematycznie spójna i obok wielu innych logik raczej nie przystająca do rzeczywistości .

Po sześciu latach wojny o rozszyfrowanie matematycznego fundamentu logiki człowieka - stało się.

Wczoraj, w ciągu zaledwie jednego dnia Kubuś napisał ostateczną wersję algebry Kubusia, zapraszam do podpisu.


Tak, to jest zgodne z logiką normalnych ludzi.
Każdy ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, gdyby nie mógł darować to jego wolna wola leży w gruzach.
Przykład:
JPII i Ali Agca

JPII wybaczył Agcy, co nie oznacza że Agca ma natychmiast wyjść na wolność bo „nic się nie stało”. Agca złamał prawo i musiał ponieść karę, to jest niezależne od przebaczenia JPII.

Zauważ że przebaczenie działa wyłącznie na linii grożący-odbiorca.

Gdyby Chrystus nie mógł darować dowolnej kary, to jego wolna wola leży w gruzach, identycznie jest u człowieka.

Tak więc koniec końców możliwy jest fakt, że wszyscy wylądujemy w Niebie, i matematycznie, Chrystus nie będzie kłamcą.

Szczegóły niżej:

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.


Algebra Kubusia to nie jest kolejna logika formalna, to rzeczywista logika każdego człowieka, od 5-cio latka po profesora.
Przystawalność do rzeczywistości jest tu 100%, patrz najnowsza wersja - kliknij na podpis.

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego

Szczególne podziękowania dla:
http://www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
http://www.ateista.pl
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Wstęp

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Nowa teoria zbiorów to fundamentalnie inne diagramy graficzne niż obowiązujące diagramy Venna.

Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny Algebra Kubusia vs KRZiP

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
3.2 Dziedzina i zbiór aktualny
3.3 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych

4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
4.3 Równania logiczne dla operatora OR
4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
4.4 Równania logiczne dla operatora AND
4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
4.5 Logika zero

5.0 Operatory OR i AND
5.1 Właściwości operatorów OR i AND
5.2 Operator OR w zbiorach
5.3 Operator AND w zbiorach

6.0 Operatory implikacji i równoważności
6.1 Właściwości implikacji
6.2 Operator implikacji prostej w zbiorach
6.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności
6.6 Kwadrat logiczny równoważności
6.7 Kwadrat logiczny implikacji
6.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
6.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
6.10 Licealne definicje implikacji i równoważności

7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
7.3 Operatory transmisji P i Q
7.4 Operatory negacji NP i NQ

8.0 Algebra zbiorów rozłącznych
8.1 Operator XOR
8.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności

9.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
9.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
9.2 Złożona implikacja prosta
9.3 Złożona implikacja odwrotna
9.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
9.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Obietnica w równaniach logicznych
10.4 Groźba w równaniach logicznych
10.5 Analiza złożonej obietnicy
10.6 Analiza złożonej groźby
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
10.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Fundamentem algebry Kubusia jest Nowa Teoria Zbiorów gdzie:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek.


1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny algebra Kubusia vs KRZiP

Wojna o ostateczny kształt algebry Kubusia trwała 6 lat, przede wszystkim na forach śfinia.fora.pl i ateista.pl

Klasyczny Rachunek Zdań (ściślej mówiąc rachunek zero-jedynkowy) to fundament zarówno technicznej algebry Boole’a jak i algebry Kubusia. Nie ma tu takich pojęć jak prawda/fałsz, prawdziwość/fałszywość zdania. Pojęcia te wprowadza dopiero Klasyczny Rachunek Zdań i Predykatów (KRZiP), oraz konkurencyjna algebra Kubusia.

W dzisiejszej matematyce (KRZiP) panuje dogmat o niemożliwości opisu matematycznego logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego.


Język potoczny musi mieć kręgosłup matematyczny inaczej człowiek z człowiekiem nigdy by się nie dogadał. Ten kręgosłup to Algebra Kubusia.
Algebra Kubusia to matematyka każdego 5-cio latka, więc gdzie tu jest to „niebywałe skomplikowanie”?

Ziemscy matematycy nie znają poprawnej interpretacji równań algebry Boole’a. Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej (pkt.4.3.1). Zrozumienie tego matematycznego elementarza to masakra całej współczesnej logiki matematycznej zwanej KRZiP.

Dlaczego?
Równania te są dowodem, iż spójniki logiczne z naturalnej logiki człowieka nie są kompletnymi operatorami logicznymi!
Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej (np. „lub”(+)) ze spójnikiem przeciwnym (np. „i”(*)) w logice ujemnej.

Przykład:
Definicja operatora OR

Definicję symboliczną otrzymujemy korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

Trzy pierwsze linie opisuje równanie algebry Boole’a (szczegóły pkt.4.3)
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Ostatnią linię opisuje równanie:
~Y=~p*~q
stąd:
Kompletny operator logiczny OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To co wyżej to kompletny operator AND w równaniach algebry Boole’a

Sam znaczek „+” nigdy nie będzie operatorem OR jak to się ziemskim matematykom zdaje!

Dowód:
Y=p+q
Jeśli znaczek „+” jest kompletnym opisem operatora OR to neguję wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana muszę otrzymać definicję operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
~Y=~p+~q
Zapytuję teraz ziemskich matematyków:
Czy to jest definicja operatora AND?
Oczywiście to co wyżej to tylko „połówka” definicji operatora AND w równaniu algebry Boole’a.

Równoważna definicja operatora OR to po prostu prawo de’Morgana.
Dowód:
Równania algebry Boole’a opisujące definicję operatora OR:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

Dowód iż prawo de’Morgana jest kompletnym opisem operatora OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND.
A.
Negujemy wyłącznie wejścia p i q:
Y = ~p+~q = ~(p*q)
B.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest oczywiście definicja operatora AND!
cnd

Gdyby bramka OR (operator OR) nie zawierała w sobie definicji bramki AND (operatora AND) w logice ujemnej to moglibyśmy sobie negować wejście p i q oraz wyjście Y do końca świata i na pewno nie uzyskalibyśmy bramki AND.

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Y = ~p+~q = ~(p*q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przy okazji mamy dowód iż operator AND jest operatorową logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (Y), albo odwrotnie.
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

Panowie ziemscy matematycy, dopóki nie zrozumiecie iż znaczek „+” nie jest kompletnym operatorem OR, dopóty możecie sobie szukać matematyki opisującej logikę człowieka do końca świata - nigdy jej znajdziecie!

Jednym z najciekawszych rozdziałów podręcznika jest pkt.6.1 i równanie ogólne dla operatorów implikacji analogiczne do powyższego.
Definicja implikacji prostej:
Y=p=>q = ~p~>~q
Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej:
~y = ~p=>~q = p~>q

stąd równanie ogólne dla implikacji:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
Po ustawieniu punktu odniesienia na lewej stronie znaku ## otrzymujemy:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
Oznacza to, iż w zero-jedynkowych dowodach formalnych nie wolno porównywać kolumn wynikowych po obu stronach znaku ## bo operator implikacji odwrotnej jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora implikacji prostej (Y), albo odwrotnie.


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

2.0.1
Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:

Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie.

2.0.2
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

2.0.3
Fizyczny model operatora logicznego:
Operator logiczny to czarna skrzynka z dwoma kabelkami wejściowymi p i q i jednym kabelkiem wyjściowym Y. Na wejścia p i q podajemy wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1. Czarna skrzynka odpowiada nam jednoznaczną sekwencją na wyjściu Y.

Definicja operatora OR:

W technice cyfrowej TTL odpowiednikiem 0 i 1 są poziomy napięć:
0 = 0-0.4V
1 = 2.4-5.0V


3.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

3.0.1
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.0.2
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Uwaga!
Zgodnie z powyższym, zera i jedynki po stronie wejścia p i q w tabeli zero-jedynkowej zamieniamy na postać symboliczną (podstawa matematyczna pkt.4.3).

3.0.3
Po takim manewrze znaczenie 0 i 1 będzie już jednolite w całym obszarze algebry Kubusia:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.0.4
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Definicja operatora równoważności.

gdzie:
* - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>KR =1
Kolumny wynikowe są identycznie zatem twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością.

Z powyższego wynika, że aby stwierdzić z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy sprawdzić odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

3.0.5
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

3.0.6
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

3.0.7
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora jak wyżej.

3.0.8
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym to zbiór opisywalny aksjomatycznymi definicjami operatorów logicznych.


3.1 Podstawowe działania na zbiorach

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach

3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]

3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]

3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym

Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0

W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.1.7
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe

3.1.8
Przykład:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.

Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe


3.2 Dziedzina i zbiór aktualny

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu, bo mamy wówczas matematykę życzeniową, zależną od chciejstwa człowieka, bez związku z otaczającą nas rzeczywistością (dowód pkt.8.2).

3.2.1
Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że musi być spełniony fundament algebry Boole’a:
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem zbioru p do dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p

Wynika z tego, że nie wolno do jednego zbioru wkładać psa, krzesła, samochodu, wąsów dziadka itp. bo nie da się na takim zbiorze pracować matematycznie.

Przykład poprawnego matematycznie zbioru:
Definiujemy zbiór jednoelementowy: pies
Naturalną dziedziną D jest tu: zbiór wszystkich zwierząt
Zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny D to: zbiór wszystkich zwierząt różnych od psa
Oczywiście spełniony jest fundament algebry Boole’a:
P+~P =1
P*~P =0

Przykład zbioru matematycznie błędnego:
Definiujemy zbiór dwuelementowy: pies, wąsy dziadka
Dziedzina D: Uniwersum, czyli wszelkie możliwe pojęcia
Dopełnienie naszego zbioru do dziedziny D: wszelkie możliwe pojęcia z wykluczeniem psa i wąsów dziadka
Oczywiście, nie da się na czymś takim pracować matematycznie sensownie.

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik

Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

3.2.2
Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność

W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
q+~q=1 - zbiór ~q jest dopełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q=0 - żaden element zbioru ~q nie należy do zbioru q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L

Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory ulokowane są w tej samej dziedzinie.

3.2.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”

Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.

3.2.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.


3.3 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.3.1
1.
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):


Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):

D: ~Y=~p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
Zdanie matematycznie równoważne:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)

3.3.2
2.
Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):


Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND.

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)

... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Zdanie matematycznie równoważne:
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

3.3.3
3.
Definicja operatora XOR w równaniu algebry Kubusia:
p XOR q = p*~q + ~p*q

Zbiory rozłączne.

p XOR q = p*~q + ~p*q
Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów

Definicja zero-jedynkowa:

Przykład:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M XOR K = M*~K + ~M*K

3.3.4
4.
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zobaczmy ten przypadek na diagramie.


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1

3.3.5
5.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej

Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:

p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zobaczmy to na diagramie logicznym:

~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
... a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
Stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0

3.3.6
6.
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.

Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q o definicji wyłącznie w B i C
~p=>~q
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
stąd w równoważności (nigdy w implikacji):
p=>q = ~p=>~q
W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza matematyczna:
W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
TP*~SK=1*1=0
Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK.

… a jeśli zajdzie ~TP?
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK
~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP*~SK=1*1=1
Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~TP*SK=1*1=0
Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK.


4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.


4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

4.1.1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

4.1.2
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

4.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p = 1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

4.1.4
Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

4.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

4.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.

Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

4.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

4.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=1
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.


4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej

W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

4.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p*1=p
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

4.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

4.2.3
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


4.3 Równania logiczne dla operatora OR

Matematyczne fundamenty tworzenia równań algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

4..3.1
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:

Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

4.3.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D123 bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar D123.

4.3.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123.

Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

4..3.4
Równoważną definicję spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.

4.3.5
Oczywiście zachodzi tożsamość matematyczna:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd:
4.3.6
Symboliczna definicja operatora OR:

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)


4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


4.4 Równania logiczne dla operatora AND

4.4.1
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:


Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

4.4.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
To równanie opisuje wyłącznie linię A123 w powyższej tabeli

4.4.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+).

Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
To równanie opisuje obszar BCD123 w powyższej tabeli

4.4.4
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii BCD123 gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy spis z natury:
1.
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
2.
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy tej definicji w liniach możemy zapisać równania Kubusia:
3.
B:
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C:
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Na mocy tej definicji linie BCD123 możemy zapisać w jednym równaniu logicznym:
4.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

4.4.5
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w tabeli zero-jedynkowej

Stąd:
4.4.6
Symboliczna definicja operatora AND:

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i U mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)


4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

Ciąg dalszy w podpisie...

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Elementarz logiki człowieka

Podręcznik w oryginale:
Elementarz logiki człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.

www.ateista.pl
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po sześciu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl i ateisty.pl zadanie zostało wykonane. Elementarz logiki człowieka to podręcznik matematyki do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna matematyka nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q=~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty).
Podręcznik składa się z trzech części. Humanistom i przedszkolakom wystarczy „Elementarz” plus "Algebra Kubusia w służbie lingwistyki", ale tylko ta najprostsza, bez zdań złożonych. Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.
To jedyny dział matematyki, którego nie musimy się uczyć!
Czyż nie jest to piękne?

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita

Zapraszam do pasjonującej lektury, efektu końcowego ponad 6-letnich zmagań nad rozszyfrowaniem naturalnej logiki człowieka.

Elementarz logiki człowieka

W czasie pisania algebry Kubusia przydarzyła się rzecz niezwykła, w ciągu pięciu dni Wielkanocnych roku 2013 dokonało się tak wiele istotnych przełomów, jak nigdy w historii - oczywiście narodziła się nowa AK.
Raj, 2013-04-01

... wyszedł mi chyba prima aprilis wszech czasów.

Końcowa wersja algebry Kubusia w podpisie lub w tym linku:
Algebra Kubusia

Wersja PDF-C6 z dn. 2014-03-26 (najnowsza):
Algebra Kubusia - logika człowieka (w wersji PDF-C7 2014-03-26)
https://www.dropbox.com/s/wnb58v8ta2jy1 ... -02-02.pdf

Wreszcie jest!
Najnowsza wersja Algebry Kubusia wykluła się po 20 miesięcznej dyskusji z ekspertem logiki matematycznej Ziemian Fiklitem, przybyłym na forum śfinia i Yrizona z forum matematyka.pl
http://yrizona.freeforums.org/studium-b ... a-f29.html
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/

Jakoś dziwnie nie spieszno mi by z aktualną wersją algebry Kubusia wychodzić w świat.
Premiera jest więc wyłącznie na forach kameralnych: Yrizonie i śfinia.fora.pl.

Jest bez znaczenia kiedy ludzie to zauważą, ważne by w ogóle zauważyli i docenili.

Maksyma Kubusia z podręczników do nauki mikroelektroniki:
1. Program główny powinien być zbiorem dobrze pomyślanych procedur.
2. Im dłużej się myśli, tym lepsze procedury można wymyśleć.
3. Myślenie w nieskończoność nie ma sensu..

Dokładnie to samo jest z TOTALNIE nową ideą jaką jest algebra Kubusia - można ją dopracowywać i ulepszać w nieskończoność. Oczywiście nie chodzi tu o poprawność czysto matematyczną bo ta jest pewna, zgodna z laboratorium techniki cyfrowej, gdzie Kubuś z racji wykształcenia (elektronika na PW-wa) jest ekspertem. Największy problem jest w fakcie, że wspólnym elementem łączącym AK z logiką matematyczną Ziemian jest wyłącznie kwantyfikator mały, wszystko inne mamy TOTALNIE inne. Inna jest dosłownie każda definicja i każde pojęcie!

Oczywiście to jest wersja pierwotna, moim zdaniem dobrze dopracowana, ale oczywiście będzie udoskonalana - liczę na cenne uwagi czytelników, w szczególności … co jest niezrozumiałe?

Kubuś

Wersja PDF-C7 z dn. 2014-03-26 (najnowsza):
https://www.dropbox.com/s/wnb58v8ta2jy1 ... -02-02.pdf

Wersja PDF-C8 z dn. 2014-04-21 (najnowsza):
Algebra Kubusia - logika człowieka w wersji PDF!
https://www.dropbox.com/s/wnb58v8ta2jy1 ... -02-02.pdf

http://www.matematyka.pl/331178,75.htm#p5081968

Wreszcie jest!
Najnowsza wersja Algebry Kubusia wykluła się po 20 miesięcznej dyskusji z ekspertem logiki matematycznej Ziemian Fiklitem, przybyłym na forum śfinia i Yrizona z forum matematyka.pl
http://yrizona.freeforums.org/studium-b ... a-f29.html
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/

Maksyma Kubusia z podręczników do nauki mikroelektroniki:
1. Program główny powinien być zbiorem dobrze pomyślanych procedur.
2. Im dłużej się myśli, tym lepsze procedury można wymyśleć.
3. Myślenie w nieskończoność nie ma sensu..

Dokładnie to samo jest z nową ideą jaką jest algebra Kubusia - można ją dopracowywać i ulepszać w nieskończoność. Algebra Kubusia jest zgodna z laboratorium techniki cyfrowej, gdzie Kubuś z racji wykształcenia (elektronika na PW-wa) jest ekspertem. Największy problem jest w fakcie, że wspólnym elementem łączącym AK z logiką matematyczną Ziemian jest wyłącznie kwantyfikator mały, wszystko inne mamy inne.

Kubuś

Uważam, że:
A=>(B v ~B)
Po ludzku rozumiem to tak:
Niezależnie od przesłanek z jakich wychodzisz, stosują prawidłowe metody rozumowania, dojdziesz do prawdziwych wniosków. Dla mnie to droga do Boga.