Dawno temu natknąłem się na taki ciekawy sofizmat, można chyba nazwać go pitagorejskim.
Załączyłem potrzebny do wyjaśnienia obrazek.
Zgodnie z tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o bokach dług. a, b, c obowiązuje zależność:
a^2 + b^2 = c^2 (patrz rysunek).
Na przeciwprostokątnej c wybieram kilka punktów i tworzę kilka trójkątów podobnych do trójkąta pierwotnego (linie czarne). Suma długości tych przyprostokątnych to nadal a+b.
Na nowopowstałych trójkątach (pomarańczowe)powtarzam tą czynność, mam więcej trójkątów i powstała łamana z przyprostokątnych zbliżyła się bardziej do przyprostokątnej c. Suma długości dalej wynosi a+b.
Powtarzam ponownie tą czynność (kolor niebieski), i nowo powstałe przyprostokątne jeszcze bardziej zbliżają się do c. Suma długości dalej wynosi a+b.
Przy powtórzeniu tego zabiegu nieskończoną ilość razy moja łamana z przyprostokątnych pokrywa się z odcinkiem c.
A więc uzyskuję wynik, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa się długości przeciwprostokątnej, czyli:
a+b=c, a nie
a^2 + b^2 = c^2.
Gdzie jest błąd?

A co to ma wspólnego z tematem wątku? Ale problem ciekawy. Niezastąpiona vihart próbowała go trochę rozjaśnić:

http://youtu.be/D2xYjiL8yyE

Filmik b. ciekawy. W przyspieszonym tempie, ale porusza tego typu temat, o którym napomykam. Obejrzę go kilka razy.

Dlaczego tutaj zamieściłem ten sofizmat?
Może w znaczeniu trochę szerszym, całe nasze życie to jakaś nauka. Jak dowiaduję się czegoś nowego, to jest to nowa kartka w moim elementarzu. Uczę się.
A nie słyszałem, aby ruszanie szarymi komórkami komuś zaszkodziło;)

Błąd powyższego sofizmatu opiera się na niedokładności rysunku, tj. na grubości kreski. Założenie, że przy n -> & (&=nieskończoność); na/n+nb/n = c jest niepoprawne, gdyż matematycznie można wykazać, że dla dowolnie wielkiej skończonej liczby n rachunek wynosi na/n+nb/n = a+b.

W matematyce do badania wyników rachunków z nieskończonością albo z dzieleniem przez zero służy pojęcie granicy funkcji. W podanym przykładzie granica funkcji jest stała i wynosi a+b, dlatego przy n->& wychodzi:

f(n) = na/n + nb/n; n € N; n =/= 0;

=> lim n->& f(n) = a+b

Sprawa by wyglądała inaczej, gdyby dla różnych n wartość funkcji się zmieniała. Ale w tym przykładzie tak nie jest.

-------------

Można sobie też to wyobrazić samochodzikiem, który jedzie "zygzakiem" i próbuje dogonić samochodzik jadący po przeciwprostokątnej. Zawsze będzie wolniejszy. Jeżeli będziemy zwiększać n w nieskończoność, to w pewnym momencie będzie on jechał po mini-zygzakach. Pozornie będzie jechał tą samą trasą, ale w rzeczywistości będzie jechał wolniej, niż jego konkurent. (Będzie się odbijał od krawężnika do krawężnika, potem od pasa do pasa a na końcu będzie wykonywał mini-ruchy kierownicą).

Trochę inaczej to ujmę.
Byłoby to prawdą gdyby tworzona krzywa zbliżała się wszystkimi swoimi, w tym przypadku, narożnikami do krzywej, którą mamy osiągnąć.
Tutaj tak nie jest. Stąd błąd w rozumowaniu.
Zbliżamy się tutaj do paradoksu z hotelem z nieskończenie wielką ilością pokoi, które zajęła nieskończenie liczebna wycieczka.

Nie tutaj mi się kliknęło. nie dokończyłem.

Potem zjawiła się druga nieskończenie wielka wycieczka. I sprytny odźwierny wszystkich ich pomieścił.
Jak? Wszystkie pokoje były zajęte.

@niewiarek

Forum to nie blog, a Ty właśnie rozwalasz swój własny temat, i to systematycznie od już paru stron.

Jak chcesz kontynuować wrzucanie różnych problemików matematycznych, to załóż nowy temat w "Hyde Parku" albo poproś moderację o wydzielenie postów z tego topicu. Bo tutaj jesteśmy w dziale "Wiara a nauka"

Ale - powie obrońca tego sofizmatu - te ruchy dążą do zera. Więc w granicy nieskończoności nie będzie wykonywał żadnych ruchów.

Wydaje mi się, że rozwiązanie problemu jest takie: mamy dążącą do zera długość odcinków i dążącą do nieskończoności ich liczbę. Więc w granicy otrzymujemy 0 × ∞, co jest tzw. symbolem nieoznaczonym. Nie ma on sensu, więc i całe nasze rozumowanie nie miało sensu.

Może inaczej trzeba to ująć. Jeśli do czegoś dążymy to punkty pośrednie powinny znajdować się na danej prostej, krzywej, a nie cały czas wokół niej oscylować, skakać. To tutaj jest błąd w rozumowaniu.
Jak w moich trójkątach. Mogę robić ich nieskończenie wiele i przybliżać się do przeciwprostokątnej, ale to nic nie zmienia. Biorę mikroskop i dalej widzę, że część punktów jest poza przeciwprostokątną. Suma ich długości zawsze będzie "a+b", a nie "c" niezależnie od skali powiększania, pomniejszania.

To można mu odpowiedzieć, że jeżeli będzie zmniejszał te "trójkąciki" jeszcze mocniej, to w pewnym momencie ich wielkość będzie poniżej piksla / grubości zatemperowanego ołówka / średnicy atomu. I trójkąciki znikną. Zniknie kreska, czy dowolny obiekt pomniejszany w nieskończoność. Czym możnaby udowodnić, że n=0; n € R.



Ależ ma, ależ ma. Dla standardowej hiperboli wprawdzie wiadomo, że nie przecina ona osi x. Niemniej prawdziwe jest stwierdzenie:

f(x) = 1/x; x =/= 0 => lim x->+& f(x) = 0

---------------------------



No tak mniej więcej. W matematyce można niektóre równania rozwiązywać graficznie, jednak tylko do granicy dokładności pomiaru. Gdyby dowolne pomniejszanie "trójkącików" było możliwe, t w pewnym momencie one znikną.

Czyli pierwiastek z dwóch to zero???

Ciekawa koncepcja.

A co ma piernik?

Nie. Tak samo jak pierwiastek z dwóch nie równa się jeden. A to było m.in. pokazane w "Twoim" filmiku.



Fakt, zły przykład, u mnie jest dzielenie, nie mnożenie.

To może taka najprostsza funkcja: f(x) = 1/x * x; x€R, x=/=0

Dla x->& wyrażenie 1/x będzie dążyło do tera a x będzie dążył do nieskończoności.
Więc teoretycznie mamy f(x->+&) = 0 * & ... co nie?

A mimo to da się obliczyć granicę tej funkcji, tak dla x->+& jak i dla x-> -&
Można też obliczyć granicę funkcji dla x->0.

Choć, jak widać, wielkiej różnicy przy wynikach nie będzie.

-------------------

Jak przy sofizmatach i granicach funkcji jesteśmy, to tym sposobem da się rozwiązać paradoks Achillesa, który nie może dogonić żółwia.

Moje spojrzenie:
Pojęcie czegoś takiego jak nieskończoność, czy to w ogromie, czy też maleńkości, stworzyliśmy my sami, ludzie. Starając się zrozumieć świat który nas otacza. Starając się go obserwować.
Ale niektóre stwory, np. nieskończoność, czarna dziura, czy cała fizyka kwantowa wykraczają poza granice naszego, ludzkiego widzenia rzeczywistości.
A wciąż sobie wyobrażamy, że musi być tak jak nam się widzi!
Natura niekoniecznie zgadza się z nami.

vvv

Pierwszą wycieczkę umieścił w pokojach parzystych i zostały mu nieparzyste dla drugiej.

Wikipedia