Tak się zastanawiam czy dowodzenie jest w tym przypadku konieczne. Wszak innej mozliwosci nie ma.
I ta nieszczęśliwa nazwa trójkąt

[wątek wydzielony - s33]

Trojkat opisany na plaszczyznie kuli moze miec rozna sume katow od 180.
Chocby 1/8 plaszczyzny kuli moze miec katy po 90 stopni kazdy, dajac 270st. w sumie.

Formalnie jest konieczne, bo skąd pewność, że "nie ma innej możliwości"? Nie może pochodzić z intuicji ("nie widzę innej możliwości..."), bo ta bywa zawodna*). Ani z przyglądnięcia się przykładom, choćby ich było tysiąc pięćset sto dziewięćset. Ponieważ żadna liczba przykładów nie dowodzi, że nie ma możliwości istnienia kontr-przykładu. Możliwych trójkątów jest nieskończenie wiele, więc potrzebny jest dowód, który wykazuje, że wszystkie mają taką cechę, jak nam się wydaje.

Ale te o czterech bokach można już spokojnie nazywać czworobokami, niekoniecznie czworokątami. Podobnie wielobok zamiast wielokąt

___________________________
*) Jeden z przykładów zawodności intuicji w matematyce: funkcja rzeczywista może być funkcją ciągłą, co w terminach codziennych można zdefiniować jako "jej wykres daje się narysować bez odrywania ołówka od papieru". Niektóre z funkcji ciągłych są różniczkowalne - co oznacza, że wszędzie mają pochodną - obrazowo: w każdym punkcie wykresu istnieje styczna do wykresu funkcji. Lub jeszcze bardziej obrazowo: wykres takiej funkcji to gładka linia, bez "ostrych" wierzchołków. Istnieją funkcje ciągłe, które w jakimś punkcie nie są różniczkowalne, np. funkcja |x| ("wartość bezwzględna z x") nie ma pochodnej dla x=0 (w tym miejscu ma ostry wierzchołek). Są takie funkcje ciągłe, które nie są różniczkowane w kilku punktach (np. |x^2-4| ma ostre załamania linii w punktach x=-2 oraz x=2)... Przed dziesiątki lat od powstania rachunku różniczkowego uważano, ze każda funkcja ciągła jest różniczkowalna praktycznie wszędzie w swojej dziedzinie, prócz jakiegoś zbioru wyjątkowych, izolowanych punktów. Intuicja mówi, że nie ma innej możliwości.

Czy może istnieć funkcja ciągła, która nigdzie, w żadnym swoim punkcie nie jest różniczkowalna? Obrazowo mówiąc językiem potocznym: jej wykres byłby ciągłą linią, która nigdzie nie jest gładka, składa wyłącznie z ostrych wierzchołków! Intuicja mówi, że taka funkcja istnieć nie może.

W drugiej połowie XIX wieku Weierstrass pokazał przykład takiej funkcji. Gorzej nawet: udowodniono, że funkcji o tej własności jest nieskończenie wiele. Gorzej nawet: to one są typowymi funkcjami ciągłymi, a nie wyjątkami.

Formalnie- wszystko powinno być udowodnione, ale sama sprawa trójkąta-(w przeciwieństwie do podanego przykładu funkcji- jest tak prosta, że trudno się spodziewać innej możliwości, o ile potrafimy sprawnie myślec abstrakcyjnie.
Dowód i tak opiera się na wyobrażeniu sobie trójkąta, a więc jest właściwie powtórzenime definicji trójkata z użyciem innych słów. Moglibsmy tez zdefiniowac trójkąt jako wielobok majacy 3 kąty.
Wtedy pewnie udowodnialibyśmy, ze ma 3 boki. Inna definicja to 3 kąty i 3 boki, ale to nie jest konieczne i niepotrzebnie komplikuje definicję, choc jest poprawne.

Daj spokój, mówimy o tradycyjnym trójkącie jako figurze plaskiej. Trójkąt na kuli jest trójkątem tylko pozornie, w rzeczywistości jest bryłą i jeszcze na dodatek jego linie nie są proste, lecz sa łukami.
Za to jego podstawą jest trójkąt tradycyjny:-). Gorzej gdy ktoś wierzy w zakrzywioną przestrzen.

Polujemy na nożyce? Proszę podać wzór na objętość trójkąta – skoro jest bryłą.

Ech, akruk się wścieknie, a moderator wydzieli. Skoro jednak nożyce już się odezwały – fajnie wygląda ta logiczna spójność matematyki w ujęciu Askadtowiesza, którą w wątku obok przeciwstawia niespójnej religii, wpajanej koniecznie przez indoktrynację.

Na przykład wielokąt płaski Askadtowiesz intuicyjnie chwyta – jest to takie szpiczaste coś wykreślone na kartce. Tutaj raczej wielkich zaskoczeń nie ma – ostatecznie Askadtowiesz geometrię planarną miał w podstawówce, kiedy na indoktrynację był najbardziej podatny i nie zadawał głupich pytań w rodzaju: a czy kwadrat da się zamalować kreską? (Kreskę definiujemy tu jako powyginany odcinek. Pytanie kontrolne: da się?)

Kłopoty zaczynają się, kiedy Askadtowieszowi uogólnić płaszczynę do postaci dowolnie złośliwego przekroju przestrzeni 3D. Askadtowiesz nie rozumie bowiem, że wtedy wielokąt pozostaje podzbiorem takiej pogiętej płaszczyzny i w związku z tym nadal jest figurą dwuwymiarową, co intuicyjnie znaczy – bez grubości. (Bryła bowiem to jest coś grubego.) Askadtowiesza w związku z tym przerasta koncepcja, że obserwując deformacje boków wielokąta można wysnuwać ścisłe wnioski o krzywiźnie naszego złośliwego przekroju, że można na przykład wykryć, że wędruje się po sferze, a nie po płaskim, idąc kolejno na południe, na zachód, na północ i wracając w ten sposób do punktu wyjścia (gdzie wtedy jesteśmy?)

Logicznie zatem Askadtowiesza przerasta uogólnienienie tego prostego w końcu obrazka na wyższe wymiary, bo on – uwaga! – nie wierzy w tensor krzywizny, ani w ogóle w ścisły aparat matematyczny, o ile nie potrafi sobie czegoś wyobrazić. No bo rzeczywiście, ani przestrzeni czterowymiarowej, ani wyginania zanurzonej w niej zwykłej przestrzeni 3D, wyobraźnia nie ogarnia. Ale opis, który Askadtowieszowi teraz przedstawiam, jest chyba logicznie spójny, prawda? A formalnie zapisuje się to w dwóch linijkach.

Tylko żeby się do tego przekonać, trzeba dać się najpierw zindoktrynować matematycznie, to znaczy dać sobie wyprać mózg formalizmem, żeby umieć rozważać takie obiekty, które da się opisać symbolicznie, choć intuicyjnie są one nie do pojęcia. Kto się nie dał i pozostał przy zdrowym rozsądku, ten umarł w butach, zabity krzywizną horyzontu zdarzeń.

Dziękuję za uwagę. A teraz to:

Misiu puszysty. Dowód matematyczny nigdy nie opiera się na wyobrażeniu, tylko na liczeniu. Per analogiam wyobraź sobie, o ile potrafisz, trójkąt ujęty w pamięci komputera, która jest jednowymiarowa, tzn. ma postać takiej osi liczbowej, jaką indoktrynowano cię w zerówce. Do kolejnych sześciu komórek wpisujesz sobie sześć liczb, po czym każesz maszynie sprawdzić, czy są one współrzędnymi wierzchołków trójkąta na płaszczyźnie, czy też jednak może układają się na odcinku. Po czym, według ciebie – uwaga, proszę państwa! – maszyna sobie wyobraża...

A teraz maszyna wczytuje dziesięć liczb i wyobraża sobie, czy dają one wielokąt z dziurką, czy bez dziurki...

To znaczy: Askodtowiesz nie wierzy. Wierzyć wierzy, w końcu matematyk w swojej pracy potrzebuje tylko kosza na papiery. No ale w prawdziwym Szkocie, to znaczy, tfu, świecie na takie rzeczy miejsca nie ma. Gdzie świat, gdzie abstrakcja...

A przecież matematyka nie wzięła się z czystego wysiłku woli, tylko z postrzegania i z myślenia o postrzeganym. Jeżeli ja dziś liczę, to liczę dlatego, że kiedyś mój praprzodek włochaty zliczał, czy starczy mu owoców na przejście przez pustynię, czy jednak musi jeszcze parę drzew obskoczyć. I ten, kto liczył sensowniej i ściślej, przeżywał, bo na przykład, kiedy szedł w miejsce huku i błysku, i znajdował tam żelazo, przychodziło mu do głowy, że to żadna magia ani bogowie, tylko że skoro ziemia się stopiła od uderzenia, to może da się tak samo zwykłym ogniem i młotem. Wszak dwa a dwa daje cztery obojętne, czy rachuje się owoce, czy kratery meteorytowe.

Dlatego właśnie próbuję zabić Askadtowiesza krzywizną horyzontu zdarzeń. Bo on, jako racjonalista, nie wierzy w czary. A w matematykę wierzy? A skąd. Czarują, panie, na kartkach i coś im wychodzi; ale jesli przechodzimy do mieszania w prawdziwym Szkocie, to znaczy, tfu, świecie, niech oni lepiej znają swoje miejsce i słuchają mądrzejszych od siebie. Szamani p...doleni.

Trafne. Aż się na głos roześmiałem, więc na razie nie

Źle. Oraz w odpowiedzi: źle.
Nie ma czegoś takiego jak "trójkąt opisany na płaszczyźnie kuli" ani czegoś takiego jak "1/8 płaszczyzny kuli", bo kula nie ma żadnej płaszczyzny. Kula ma powierzchnię. Która nie jest płaszczyzną. Mieszanie tych dwóch pojęć matematycznych jest karygodne.

Nieszczęsny "trójkąt opisany na płaszczyźnie kuli" to nie to samo, co "trójkąt w przestrzeni 3D", ale odrębna, inna figura nazywana "trójkątem sferycznym" (ponieważ jest podobna do trójkąta, stanowi jego analogon na powierzchni sferycznej). Boków trójkąta sferycznego nie stanowią odcinki, lecz łuki. Ale też nie jest bryłą -- po prostu nie jest figurą płaską, bo w przestrzeni trójwymiarowej nie wszystkie figury dwuwymiarowe muszą być płaskie. Figurą w przestrzeni trójwymiarowej jest np. kątownik, jeśli pominiemy jego grubość:

Jeszcze raz, dla podkreślenia:
Dodanie w jakimś zagadnieniu dodatkowego wymiaru nie zmienia cech trójkąta, który pozostaje figurą płaską i nadal suma jego kątów jest równa zawsze kątowi półpełnemu (180 stopni); w przestrzeni trójwymiarowej możemy mieć zarówno trójkąt, jak i trójkąt sferyczny, to dwie różne figury.

Żeby w coś wierzyć lub nie wierzyć, trzeba znać, zetknąć się z pojęciem. O ile wiem, nawet macierze nie są już chyba powszechnie omawiane w szkołach, a tensory zawsze były wprowadzane dopiero na studiach: matematycznych, fizycznych, niektórych technicznych, więc tensor krzywizny, to, panie, fiu-fiu!... Nawet machaniem rękami*) się nie przybliży. Zagadnienie -- zapewne da się, ale faktycznie używane pojęcia, obiekty, metody -- niekoniecznie.

*) "machanie rękami" -- idiomatyczne: próby przekazania czegoś na poziomie zbyt niskim w stosunku do potrzebnego dla zrozumienia; przeważnie złożone z ogólników, mglistych analogii i zapewnień.

A bo myśmy się kiedyś ścięli z Askadtowieszem na tle ugięcia grawitacyjnego, i Askadtowiesz wywodził, że promieni światła, ja, że samej przestrzeni, bo promień biegnie zawsze po prostej (czy ściślej, po geodyce), na co Askadtowiesz, że przestrzeń się nie wygina, na co ja, że światło nie ma masy spoczynkowej... Argument z autorytetu (wykładu TW autorstwa Einsteina) nie podziałał; i trudno, żeby podziałał, skoro ze wstydem przyznaję, że nie przebrnąłem. Trudny tekst.

Aha.
Ale w jakim sensie "się nie wygina"? Że nie ma takiej możliwości, czy że to nie zachodzi?
U Newtona się nie wygina, rzeczywiście. W OTW się wygina.

Historia poglądów na budowę i mechanikę "świata" (=Układu Słonecznego) jest omawiana w szkołach po łebkach, ale dla mnie to kilka przełomowych punktów:

• Ptolemeusz - dopracowany model, używany przez stulecia
• Kopernik - heliocentryzm: elegantszy, pozbycie się ruchu wstecznego jako realnego,
• Kepler - pozbycie się kółek na kółkach i mimośrodów: eliptyczne kształty orbit, reguły wiążące geometrię i ruch,
• Newton - teoria grawitacji, F=GmM/R^2 tłumaczące kształty orbit i rodzaj ruchu
• Einstein - ogólna teoria względności, tłumacząca anomalie orbity Merkurego: zaobserwowane w połowie XIX w. przesuwanie się peryhelium, co u Newtona nie powinno zachodzić, nie ma wyjaśnienia.

Dokładnie, chodziło o to, że nie udało się ustalić, czym jest przestrzeń (z czego się składa, jaki jest jej budulec), więc nie ma mowy o żadnym zakrzywieniu, bo, zdaje się, zakrzywiać się może tylko "coś", a nie "nic".

Dyskusja tutaj i w okolicach.

No ale jak to - "budulec przestrzeni"???
A gdyby taka, hm..., przestrzeń, "zbudowana z budulca", mogła się zakrzywiać i byłaby zakrzywiona - to względem czego byłaby zakrzywiona?
I czy trójkąt sferyczny to musi być z drutu czy innego budulca, bo inaczej nie ma mowy, żeby się zakrzywiał?

Budulec przestrzeni, ale fizycznej, tej "namacalnej", między mną a stołem. Dlatego sugeruję, że w pojęciu kolegi A. matematycy to szamani, zajmujący się zmyślonymi bytami, nieco upiornymi, jak się zastanowić, a na prawdziwe życie mającymi przełożenie niewielkie, jeśli jakiekolwiek. Złapał kto kiedy tego ducha, co to niby w skale siedzi? Tak samo nikt nie przyniósł pół kilo zawiniętej przestrzeni w wiaderku.

Ostatecznie, byty abstrakcyjne chyba mają jakiś "substrat" materialny, skoro cała "dusza" ludzka działa "na neuronach", a więc w materii. W ten sposób redukujemy matematykę do neurobiologii i mamy satysfakcję, że świat jest w pełni zrozumiały, przynajmniej do momentu natknięcia się na Obcych, którzy intuicyjnie odrzucają (albo przyjmują za pewnik) hipotezę continuum. : )

Nie trójkąt jest bryłą, tylko to co powstanie po narysowaniu go na powierzchni kuli. Objętosć sobie policzysz, poświecając troche czasu, o ile wiesz jak ta bryłą wyglada.