Zaczynam więc powątpiewać czy pamiętasz jeszcze co chciałes udowodnić. Na razie wychodzi ci, ze wszystkie punkty sfery leża na sferze. Brawo!

Widzisz, akruku, Askadtowiesz żartuje sobie, że wciskasz ludziom brednie – ale wyluzuj i mów, że deszcz pada.

Podkreślone zdania są oczywiście fałszywe. Oba. O co tutaj chodzi? Z grubsza o to, że płaszczyzna zadana jest trzema wyrażeniami:
(1) x = s
(2) y = t
(3) z = const
gdzie s i t przebiegają cały zbiór liczb rzeczywistych. To własnie s i t stanowią zmienne niezależne służące do wyznaczania współrzędnych x, y, z. Askadtowiesz natomiast wyobraża sobie równania takie oto:
(a) x = x
(b) y = y
(c) z = const
i uważa, że x po lewej stronie to jest to samo x co po prawej.

Innymi słowy, Askadtowiesz nie odróżnia dwóch relacji: równości tożsamościowej i porównania wartości. Proszę kolegi: równość tożsamościowa oznacza, że po obu stronach znaku równości stoi ten sam byt, choćby oznaczony dwoma różnymi symbolami. Natomiast porównanie wartości moze wiązać ze sobą dwa odrębne byty, choćby oznaczone były tym samym symbolem.

I to jest rzecz, którą czyta się z kontekstu.

Mówiąc zaś językiem potocznym, Askadtowiesz nie odróżnia tego samego (tożsamość) od takiego samego (porównanie).

Różnych różności nie rozumie i nie odróżnia, jak się okazało w dyskusji. Ale oprócz tego, jak mi się zdaje, teraz po prostu się wymiguje. Dlaczego tak sądzę? Ponieważ podał swój własny, wymyślony przykład innej sytuacji, ale nie zacytował ani nie skomentował faktycznych wzorów przedstawionego mu dowodu, a jedynie sam wniosek, jaki widniał tuż pod nimi. Całość przecież wygląda tak:Wyraźnie widać, że choć żadna z trzech współrzędnych x, y oraz z nie jest stałą, to jednak zależą tylko od dwóch - a nie trzech! - występujących niezależnych zmiennych: θ i φ. Przykra niespodzianka, której nie da się zaprzeczyć i z którą nie miał co zrobić. Żadnego argumentu.

Dlatego w odpowiedzi Askadtowiesz próbuje się odwrócić uwagę i wymigać się prostą sztuczką: cytuje wyrwany z kontekstu wniosek zawierający słowa "ponieważ liczba 10 to stała, więc po prawej stronie wzorów występują tylko dwie niezależne zmienne" i natychmiast używa własnego przykładu, w którym "po prawej stronie" występuje "liczba 10", mianowicie wymyśla sobie "z=10". Ha! teraz nie będzie kłopotu: są dwie zmienne, ale zmieniają się też dwie współrzędne, a nie trzy.

Nadaremnie, bo z niewiedzy podał właśnie opis umieszczonej w kartezjańskiej przestrzeni 3D płaszczyzny równoległej do xy i położonej ponad nią o 10 jednostek. To właśnie fakt, że dla wszystkich punktów tej płaszczyzny dwie, dokładnie dwie współrzędne: x oraz y mogą przybierać dowolne wartości całkiem niezależnie od siebie, zaś trzecia, z, ma wartość niezmienną, stanowi dowód, że ta płaszczyzna nie jest trójwymiarowa, lecz dwuwymiarowa. Jak wszystkie płaszczyzny.

Ano tak, bardzo możliwe, że Askadtowiesz zaserwował nam nie argument z ignorancji, ale czystą erystykę. Co prawda, w jego wypowiedziach współrzędne mieszają się z innymi bytami nie od wczoraj, dlatego założyłem jednak jego dobrą wolę, tzn. że on po prostu był kiepsko nauczany i musiał używać swojej inteligencji, żeby coś z tego nauczania zrozumieć i jakoś sobie wiedzę pozyskiwaną uporządkować; a jego pech w tym, że, młodym będąc i niewprawionym, zrobił to źle, a po maturze poszedł do pracy albo na studia nieścisłe i tak mu już, biedakowi, zostało.

Zresztą, w matematyce obowiązuje też zasada ekonomii języka i nikt nie rozpisuje płaszczyzny na trzy równania, tak jak ja to zrobiłem, bo to zbędny trud. Pisze się po prostu: płaszczyzna z=10 i każdy rozumie, o jaki twór chodzi, i nie sprzecza się o brak absolutnej dokładności w notacji. Bo w matematyce chodzi o to, żeby pokazać uniwersalną prawdę o obiekcie, a nie, żeby wykazać swoją rację, choćby z uszczerbkiem dla prawdy. To pierwsze jest ciekawe, a to drugie – tylko męczące.

Tym bardziej mi przykro, że nie mogę nic więcej na ten temat powiedzieć. : ( Wpadłem na to podejście na gorąco w tej dyskusji i po prostu nie wiem, co ono za sobą pociąga i czy w ogóle pociąga coś interesującego. Ale przypuszczam, że jednak odkryłem samodzielnie koło i pomysł jest pogrzebany gdzieś w literaturze przedmiotu; pojęcia tylko nie mam, gdzie go szukać. W teorii modeli może...? U Goedla, albo u Wittgensteina?

...bo tak z grubsza, to pomyślałem sobie, że dowód matematyczny można przedstawić jako funkcję języka programowania, która nakarmiona tezą-komendą wypluwa jedno z trzech: True, jeśli dowód się udał, False, jeśli się nie udał, albo None (lub ekwiwalent), jeśli teza okazała się niezależna od aksjomatów zawartych w ciele funkcji *). Skoro zaś dowód da się tak przedstawić, to możemy go zaimplementowac np. w języku C++, w którym istnieje coś takiego, jak szablony (templates).

Roughly speaking, C++ jest językiem silnie typowanym, czyli że programista musi sam ręcznie pisać: ta zmienna jest całkowitoliczbowa, ta zmienna jest zmiennoprzecinkowa, ta zmienna jest liczbą zespoloną i tak dalej. Problem polega na tym, że algorytm abstrahujący od typu trzeba zakodować w tylu odmianach, ile typów C++ wyróżnia. Ponieważ zaś pielęgnowanie kodu z fefnastoma kopiujwklejkami jest mordęgą, język pozwala napisać jeden szablon, który stanowi instrukcję dla kompilatora **), żeby nie zawracał gitary i sam, automatycznie, wygenerował dostatecznie dużo odmian algorytmu, każdą z innym typem czy kombinacją typów.

No i to jest właśnie to. Informatyka królową nauk... i nie dajcie sobie wcisnąć, że skrawanie obrabiarką. : )
_________________
* Zbieżność z terminem algebraicznym ciało liczb takich a takich przypadkowa.
** Kompilator to jest takie ustrojstwo, co tłumaczy kod ze zrozumiałego języka na instrukcje maszynowe.

Wprawdzie ta wypowiedź nie jest skierowana do mnie, ale w przestrzeń, dotyczy jednak mojej wypowiedzi, wiec skomentuję.
Sądziłęm, ze słyszałes o dowodzie nie wprost czy sprowadzeniu do absurdu i zrozumiesz w czym rzecz, ale widzę ze najlepiej formalizować.
No więc wyobraź sobie, że ustaliłeś jedna zmienną (R), co oznacza, ze wszystkie punkty będące w grze leżą wyłącznie na sferze o promieniu R. Kazdy z tych punktów ma po 3 niezależne wspólrzędne x,y,z (w układzie prostokatnym) i po dwie wspólrzędne niezależne (theta i fi) w układzie sferycznym. Dwie wyłącznie dlatego, ze trzecia ustaliłeś podobnie jak ja w moim przykładzie.
Oczywiscie R też jest współrzędna niezależną, bo mozna ja ustalic dowolnie. Po raz drugi pytam, od czego jest zależna, jesli nie od ustalającego? Potrafisz wykazac jakąkolwiek jej zależnośc, znasz wzór na te zależnośc?
Ustaliwszy jedna współrzędną, wykazujesz, ze tylko dwie pozostałe mają znaczenie (sa niezależne). A jakze mogłoby byc inaczej i co tu jest do dowodzenia?
Sfera jest dwuwymiarowa, podobnie jak płaszczyzna, gdyz trzeci wymiar pomijamy, zerujemy lub ustalamy const. Są dwuwymiarowe w swoich układach.

Każdy z tych punktów ma po dwie współrzędne niezależne w układzie sferycznym (oraz jedną stałą) oraz po trzy współrzędne kartezjańskie, które NIE są całkowicie niezależne. Jeśli dla konkretnej sfery, np. o promieniu 5, przyjąłeś określone wartości dla x i y, np. x=3, y=4 to nie możesz przyjąć dowolnej współrzędnej z! gdybyś chciał przyjąć jednocześnie z=100, to taki punkt leżałby poza sferą. To jest, dyrba, oczywiste.

Oczywiście, że tak właśnie zrobiłem. Trzecią MUSIAŁEM ustalić i to nie dowolnie, ale w konkretny sposób, tak aby pasowała do punktów rozpatrywanej sfery i wyłącznie do punktów tej sfery. Ta współrzędna sferyczna jest stała, bo tę stałość narzuca fakt, że rozpatrujemy, badamy konkretny obiekt, a nie dowolne punkty przestrzeni.

Dla sfery o promieniu 10 nie można jej ustalić dowolnie. Ani dla żadnej innej sfery. R musi być stałe i równe promieniowi sfery - ponieważ... Ponieważ badamy sferę i współrzędne JEJ punktów, a nie dowolnych punktów przestrzeni.

A jak miałbym NIE przyjmować, że R jest stałe, skoro sfera MA właśnie STAŁY promień? Oczywiście, że przyjmuję stałe R, bo ono JEST stałe dla tej sfery.

Albo ustalasz R i jest wtedy niezalezne, albo zmieniasz wszystkie wspolrzedne zmieniajac R. nie ma tak ze mozesz w kazdej chwili zmienic R bo wtedy zmieniasz kompletnie wszystkie wspolzedne, lacznie z "0" jako srodka ukladu wspolrzednych (punktu odniesienia).

Zauważmy, że Askadtowiesz nie odróżnia nawet przestrzeni od powietrza. To po pierwsze. : )))

Po drugie, dowód przez sprowadzenie do absurdu prowadzi się tak:
(1) wprowadza się przedmiot rozważań,
(2) stawia się dowolną tezę o przedmiocie rozważań,
(3) stawia się zaprzeczenie tezy,
(4) wnioskuje się z zaprzeczenia tezy aż do wywioskowania sprzeczności z jakąś prawdą, czyli absurdu,
(5) orzeka się wobec wystąpienia absurdu o niesłuszności przeczenia tezie i stosuje regułę wyłączonego środka.
Widać gdzieś to wszystko w tekście Askadtowiesza?

Po trzecie, Askadtowieszowi chodzi o to, że wektory dowolnej bazy przestrzeni euklidesowej są liniowo niezależne. No, taka już definicja bazy, że są i faktycznie nie ma tu czego dowodzić. Ale niech się Askadtowiesz zdecyduje, o co mu właściwie chodzi – o przestrzeń czy o sferę? Jeśli o sferę, to R musi być ustalone, bo taka jest definicja sfery.

Po czwarte, Askadtowiesz używa wymiennie słów: współrzędna, zmienna i wymiar, choć za tymi słowami stoją trzy zupełnie różne pojęcia. Współrzędna jest – ziornąć do wiki – o: wartością funkcji. Zmienna jest – ziornąć do wiki – o: symbolem. Natomiast wymiar jest ilością zmiennych w równaniu bądź układzie równań. Zmiennych niezależnych...

No i po piąte, rozważmy jednak tę sferę w układzie kartezjańskim. Ona ma tam równanie:

(a) (x - A)(x - A) + (y - B)(y - B) + (z - C)(z - C) = R*R

gdzie A,B,C,R są stałe. A,B,C wyznaczają współrzędne środka sfery, R stanowi długość promienia. x.y.z to zmienne wyznaczające współrzedne jakiegoś punktu należącego do sfery. Nie wiem, co tu jest jeszcze do rachowania, no ale porachujmy:

(b) (x - A)(x - A) = R*R - (y - B)(y - B) - (z - C)(z - C)
(c) |x - A| = sqrt (R*R - (y - B)(y - B) - (z - C)(z - C))
(d) x = A + sqrt (R*R - (y - B)(y - B) - (z - C)(z - C)) lub x = A - sqrt (R*R - (y - B)(y - B) - (z - C)(z - C))

I widzimy, że x zależy od y,z. Czy teraz Askadtowiesz przyswoi sobie wreszcie prawdę, że sfera jest dwuwymiarowa bez względu na wybór układu współrzędnych?

Akruku, nie tak, nie tak... nie wiem jak, ale na pewno nie w ten sposób. Askadtowiesz argumentuje Ci filozoficznie, a Ty mu odpowiadasz opisem technicznym. Techniczne detale? Phi! nieistotne! Filozofia jest ponad to. Czołgacie się w prochu i w pyle...

Spróbujmy jednak pokazać błąd w rozumowaniu. Pisze Askadtowiesz:

Otóż nie jest to prawdą. Współrzędne kartezjańskie nie są już niezależne, zostały bowiem związane równaniami z współrzędnymi sferycznymi; współrzędne kartezjańskie są teraz wyliczane na podstawie sferycznych, które wciąż możemy dobierać sobie dowolnie. Pisze Askadtowiesz:

Powiedzmy, że tak jest w istocie. Czy są w dowodzie akruka jeszcze jakieś "współrzędne niezależne"? Ależ są! Występują! Dokładnie trzy: A, B, C. Są to współrzędne środka sfery, które akruk sobie dla wygody wyzerował. Współrzędne te również można ustalić dowolnie, a zatem są one "niezależne". W ten sposób okresliliśmy, idąc tropem myśli kolegi A., sześć "współrzędnych niezależnych" dla sfery: theta, fi, R, A, B, C. Oznacza to że zwykła, pospolita, sfera "ma sześć wymiarów". Zarazem jest ona zanurzona w zwykłej, pospolitej przestrzeni euklidesowej, która "ma trzy wymiary". No ale to jest właśnie absurd... Jaka była nasza teza? Że R jest "współrzędną niezależną". Ponieważ z dwóch zdan, które sobie przeczą, dokładnie jedno jest prawdziwe, dowodzimy tym samym, i to nie wprost, że R jest "współrzędną zależną", tak samo jak A, B, C.

Jasne?

PS. Przepraszam, jeśli spaliłem dowcip. Działam w stanie wyższej konieczności, przygotowując się do przyszłorocznych egzaminów wstępnych. Muszę wdrożyć się do roboty...

Jeszcze bardziej łopatologicznie:

Weźmy sferę o promieniu 10 mającą środek w początku układu kartezjańskiego.
Uwaga
Nie wprowadzamy żadnego innego układu współrzędnych poza nim. Badamy tylko zależności współrzędnych x, y, z punktów sfery od odcinków, kątów itp. (L, θ, φ). W tym przykładzie występuje tylko jeden układ współrzędnych i tylko jeden rodzaj współrzędnych: trzy współrzędne kartezjańskie x, y, z, ze środkiem w środku sfery.

Niech θ będzie kątem pomiędzy promieniem sfery poprowadzonym od początku układu do punktu (x,y,z) na sferze a płaszczyzną xy. Mamy wówczas
(a) z/10 = sin(θ)
Niech φ będzie kątem pomiędzy rzutem tego promienia na płaszczyznę xy a osią x. Ten rzut na długość L=10·cos(θ) i stanowi przeciwprostokątną dla trójkąta o kącie φ i przyprostokątnych x, y. A zatem mamy:
(b) x = L·cos(φ)
(c) y = L·sin(φ)
To daje następujące zależności pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a badanymi elementami:
(1) x = 10·cos(θ)·cos(φ)
(2) y = 10·cos(θ)·sin(φ)
(3) z = 10·sin(θ)
Każdy punkt sfery określają trzy współrzędne x, y, z, powiązane w sposób określony wzorami (1)-(3). Po prawej stronie wzorów występują tylko dwie niezależne zmienne, dwa kąty[/b]: θ, φ. Od niczego więcej x, y, z nie zależą. Trzy współrzędne kartezjańskie punktów tej sfery zależą od tylko dwóch niezależnych zmiennych: od dwóch niezależnych kątów (jeden w pionie i jeden w poziomie). To oznacza, że sfera jest dwuwymiarowa.
Uwaga raz jeszcze: nie używamy żadnego innego układu współrzędnych poza przyjętym na samym początku układem kartezjańskim.

Z tego wynika, że określenie "współrzędne niezależne" w takim wydaniu jak to rozumiesz, jest zupełnie bezsensowne. W układzie kartezjańskim, nie zawierającym żadnej sfery, tylko dla izolowanych punktów można wybrać dowolne wartości x,y,z. natomiast punkty zorganizowane w jakikolwiek wykres, funkcje, figurę itp. maja te współrzędne powiązane ze sobą.
Natomiast gdy umieścisz sfere w ukłądzie kartezjańskim, bynajmniej nie każda para x,y musi leżeć na sferze. (W rzeczywistosci ilosć takich par, leżących na sferze, będzie znikoma w porównaniu z iloscia par leżących poza sferą). I co, z tego wynika wniosek, ze i druga wspólrzędna też nie jest niezależna? Nawet w podanym przez ciebie przykładzie punkt o wspolrzednych 3,4 nie leży na sferze o promieniu 5.


Oczywiście, że tak właśnie zrobiłem. Trzecią MUSIAŁEM ustalić i to nie dowolnie, ale w konkretny sposób, tak aby pasowała do punktów rozpatrywanej sfery i wyłącznie do punktów tej sfery. Ta współrzędna sferyczna jest stała, bo tę stałość narzuca fakt, że rozpatrujemy, badamy konkretny obiekt, a nie dowolne punkty przestrzeni.

No wiec w ten sposób ustaliłeś (wybrałeś) układ dwuwymiarowy (w postaci sfery), a potem przystępujesz do dowodzenia, ze on faktycznie jest dwywymiarowy.

oczywiscie, ale nie o to chodzi. R straciło niezależność nie wskutek powiązań matematycznych ale w wyniku arbitralnego wyboru (tu: akruka). Ten wybór nie wynika z żadnych prawideł matematycznych; nie ma zasady determinującej wartosć R. I nie podasz wzoru matematycznego ograniczającego wybór R. I tu znów wychodzi bezsensowność pojecia "zmienna niezależna". Jeśli istnieje jakiekolwiek równanie lub ukłąd równań wiązacych zmienne, już z samego tego powodu nie są one niezależne,a wybór jednej z nich ogranicza wybór kolejnych.

Weź jednak wzór z Boga, który swe dzieła dokonywane każdego dnia oceniał (do tej pory nie rozumiałem- po co?). Przypatrz się wiec swemu dziełu, sferze leżącej w srodku ukłądu kartezjańskiego - czy ona jest rzeczywiscie dwuwymiarowa. W razie braku wyobraźni posiłkuj sie rysunkiem. Znajdziesz gotowy w Wikipedii.

Akruku, jeśli wolno poradzić – nie polemizuj, tylko pytaj twardo i konsekwentnie o definicje i własności pojęć, jakie stosuje Askadtowiesz. Na przykład niech Ci poda grubość tej "trójwymiarowej" sfery, o której w wiki zresztą napisali: ... zwykłą sferę rozpatruje się w przestrzeni trójwymiarowej, ale ona jest zwykłą powierzchnią czyli obiektem dwuwymiarowym... Dopóki tego nie zrobi, nie ruszaj z dyskusją dalej.

Ja ograniczę się do wskazania kwiatków publiczności:

Askadtowiesz stwierdza tutaj, że sfera jest płaska.

Askadtowiesz stwierdza tutaj, że figura jest układem współrzędnych.

Askadtowiesz stwierdza tutaj, że wyrażenie R = 10 nie jest wzorem matematycznym.