Jednak nie ogarnąłeś, nie rozumiesz całosci i cytujesz wyrwane z kontekstu zdanie.
Coś jak u Tuwima: "a patrząc - widzą wszystko oddzielnie
Że dom... że Stasiek... że koń... że drzewo..."

Gdybyś to istotnie udowodnił, byłbyś murowanym kandydatem na nobla, moze nawet pewnikiem.
Wzory są poprawne (zreszta pewnie skądś zerżnięte), ale wnioskowanie juz nie.
Położenie punktu w przestrzeni opisane przy pomocy wspólrzędnych sferycznych też oczywiscie wymaga trzech wspólrzędnych, w tym R. Nie jest ono (czy "on"- jako promień) zawsze stałe, lecz tylko wtedy gdy je ustalimy, czyli wybierzemy sferę o określonym promieniu R. Żadne to odkrycie, ze każdy wierzchołek trójkąta ma ten sam promień R, bo taka jest właśnie budowa tego układu współrzędnych. Nie znaczy to, ze R jest zmienną zależną (chyba ze od konstruktora ).
Jeśli uważasz, ze nie jest zmienną niezależną, po prostu spróbuj ja podstawic czymś, tak jak to sie robi przy rozwiązywaniu równań. Na przykład z 3. równania:
R= z/sin(θ) i wstaw do pozostałych rownań, wyjdą fajne rzeczy. A moze potrafisz R podstawic czyms innym? Skoro zależne, wykaż te zależność.

...problem w tym, że trudno go tak zostawić, bo będzie potem chodził i tryumfował, że przegadał strasznych matematyków.

Tymczasem błąd w krytyce Askadtowiesza jest trywialny. Askadtowiesz nie rozumie, że R do dowodu możemy wybrać dowolne. Może być to 1, może być 0.00001451, może być 39148, a może być nawet 0 i dowód akruka od tego się nie zachwieje, bo akruk abstrahuje od długości promienia swojej sfery. Dowód jest więc prawdziwy dla wszystkich sfer, jakie można pomyśleć. Akruk wymaga tylko, żeby to R mu się nie zmieniało podczas rachunku, czyli żeby sfera w ogóle była sferą.

A! Askadtowiesz uważa, że (nie)zależność zmiennych jest cechą układu współrzędnych. Nie, tak nie jest: (nie)zależność zmiennych jest cechą równania. A że równanie algebraiczne opisuje jakiś konstrukt geometryczny, to już zasługa pana Kartezjusza. Wskutek tego w jednym i tym samym układzie współrzednych możemy wykrywać różne ilości zmiennych (nie)zależnych.

Przejdźmy teraz do ładnych kwiatków. Kwiatki mamy co najmniej trzy:


Askadtowiesz zdaje się twierdzić, że trójkąt składa się tylko z wierzchołków.


Askadtowiesz zdaje się twierdzić, że sfera ma stały promień tylko w układzie sferycznym, a np. w kartezjańskim już nie. Prawdopodobnie dlatego, że w rachunku w układzie sferycznym R zadane jest liczbą, a w rachunku w układzie kartezjańskim R zadane jest wzorem.


Askadtowiesz proponuje tutaj błędne koło w dowodzeniu.

(Kurczę, czwarty post z rzędu. Niech mnie ktoś powstrzyma...!)

Pomyliłem się, to nie jest błędne koło. To jest kolejny krok dowodu, który można oczywiście wykonać, z tym wszakże zastrzeżeniem, że wtedy dowód przestanie być słuszny dla dowolnej wartości kąta theta, a więc dla całej sfery. Dlaczego? Dlatego, że dla kąta zerowego i półpełnego funkcja sinus przyjmuje wartość zero.

Czyli Askadtowiesz proponuje dzielenie przez zero. Tyż piknie.

Wedle życzenia. Wskazałeś błędy, jakie Askadtowiesz popełnia w krytyce dowodu, więc pozostaje mi jego - również szkolny - błąd w uwadze marginalnej:
Nobli z matematyki nie przyznają, dziecko drogie. Nigdy nie przyznawano. Nie ma takiej nagrody jak "Nobel z matematyki". Najwyższym wyróżnieniem w matematyce jest medal Fieldsa, ale przyznaje się go tylko młodym matematykom, którzy w danym roku mieli mniej niż 40 lat. Nie mówiąc o tym, że oczywiście nie przyznaje się go za rzeczy tak trywialne i od dawna znane.

Uff, dziękuję. Ale pierwszy z ciągu moich postów wydaje mi się chybiony. Askadtowiesz zdaje sobie sprawę, że R możemy wybrać dowolne, napisał bowiem:

Tak rzeczywiście jest: wybieramy sobie jedną, konkretną sferę z jednym konkretnym promieniem, a wic polega na tym, że nie precyzujemy, o który promień nam chodzi. Zatem to co, zaprezentował akruk, nie stanowi pojedynczego dowodu, ale jest to szablon nieskończonej ilości dowodów, po jednym dowodzie na każdą sferę, jaką można pomyśleć.

Dla Askadtowiesza oznacza to, że R zmienną jest. Dlaczego taka myśl jest błędna? Dlatego, że kiedy mówimy: zmienna, mamy na myśli: zmienna w równaniu takim a takim, a w równaniu sfery R jest stałe z definicji. Innymi słowy, Askadtowiesz wykłada się kontekście, w jakim umieszczone jest słowo: zmienna, to znaczy – wykłada się dokładnie na tym, o czym próbuje nas, strasznych matematyków, pouczać.

Hm, ciekawe. Zwykle nie ujmuje się tego w ten sposób. Przeważnie mówi się, że jest to pojedynczy dowód ogólny. Choć można dowód ogólny rozumieć jako rodzaj szablonu dla nieskończonej ilości dowodów szczególnych, raczej chyba postrzega się obiekty występujące wewnątrz takiego dowodu jako uogólnienia, szablony dla dowolnych konkretnych obiektów danego typu.

Mam na myśli: sfery różnią się tylko długością promienia (R). Dla każdej konkretnej sfery długość jej promienia jest stała, choć długości promieni dla różnych sfer mają różne wartości. Jeśli weźmiemy jakąś konkretną sferę, np. o promieniu równym 10 jednostek, to możemy oczywiście zastąpić w dowodzie symbol R liczbą 10 (i uzyskać w ten sposób dowód dla szczególnego, pojedynczego przypadku: tej konkretnej sfery), ale wcale nie musimy. I bez tego dowód bezpośrednio dotyczy tej sfery, tak samo jak o każdej innej. Nie po to wymyśliliśmy uogólnienia i abstrahowanie od konkretnych wartości, żeby, jak dzieci, musieć każdorazowo zamieniać symbole na liczby dla sprawdzenia(?) kolejnych przypadków.

Podobnie dowodem ogólnym jest dowód twierdzenia Pitagorasa. Trójkąty prostokątne różnią się tylko długościami boków (a, b, c). Dla każdego konkretnego trójkąta długości jego boków są stałe, choć długości boków dla różnych trójkątów mają różne wartości. Twierdzenie Pitagorasa i jego dowód dotyczą każdego trójkąta prostokątnego i nie ma znaczenia, czy weźmiemy jakiś trójkąt o konkretnych długościach boków, np. 3, 4 i 5 jednostek, i pod a, b, c podstawimy w dowodzie liczby 3, 4, i 5, czy też ich nie podstawimy. Ważne, jak wskazał ErgoProxy, że używane w dowodzie symbole a, b, c oznaczają wielkości stałe, nie zmieniające się podczas dowodzenia. W trakcie przeprowadzania dowodu trójkąt ma cały czas takie same boki, wszystko jedno, jakie one są.

Naprawdę ciekawe. Zawsze patrzyłem na dowód, w którym zamiast konkretnych wartości liczb występują stałe A, B,C jako na pojedynczy dowód, w którym użyto pewnych "szablonów" dla liczb. Perspektywa, w której zamiast tego to on stanowi pewien "szablon" dla dowodów, w których używa się konkretnych wartości liczbowych, nie przyszła mi do głowy.

Tak.W ogóle we współrzędnych sferycznych R może się zmieniać dowolnie, zależnie od tego, co opisujemy, ale w tym dowodzie R jest stałą, ponieważ w dowodzie rozpatrujemy właśnie punkty sfery, czyli zbioru punktów o stałej, takiej samej odległości od środka układu, a nie dowolne punkty przestrzeni.

Proszę bardzo. Dowód szczególny, dla sfery o promieniu równym 10:

Weźmy sferę o promieniu 10 mającą środek w początku układu kartezjańskiego. Takie położenie nie przynosi uszczerbku poprawności rozważań, natomiast upraszcza wzory (można przyjąć w razie potrzeby x'=x-A, y'=y-B, z'=z-C i operować później na współrzędnych primowanych). Korzystając z przyjętego układu kartezjańskiego wprowadźmy jednocześnie odpowiadające mu współrzędne geograficzne (uwaga: nie rezygnujemy z układu kartezjańskiego, po prostu chcemy dla tej sfery mieć dwa układy jednocześnie):
Niech θ będzie kątem pomiędzy promieniem sfery poprowadzonym od początku układu do punktu (x,y,z) na sferze a płaszczyzną xy. Mamy wówczas
(a) z/10 = sin(θ)
Niech φ będzie kątem pomiędzy rzutem tego promienia na płaszczyznę xy a osią x. Ten rzut na długość L=10·cos(θ) i stanowi przeciwprostokątną dla trójkąta o kącie φ i przyprostokątnych x, y. A zatem mamy:
(b) x = L·cos(φ)
(c) y = L·sin(φ)
Wszystko to daje następujące zależności pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi a geograficznymi:
(1) x = 10·cos(θ)·cos(φ)
(2) y = 10·cos(θ)·sin(φ)
(3) z = 10·sin(θ)
Każdy punkt sfery określają trzy współrzędne x, y, z, powiązane w sposób określony wzorami (1)-(3). Ale ponieważ liczba 10 to stała, więc po prawej stronie wzorów występują tylko dwie niezależne zmienne. Wartości tych dwóch zmiennych dla każdego punktu sfery wyznaczają jednocześnie wartości trzech współrzędnych kartezjańskich tego punktu.

Mam nadzieję, że analogiczny dowód dla sfery o jakimś innym konkretnym promieniu, np. równym 5 byłbyś w stanie sam przeprowadzić? Nie krępuj się, jeśli miałbyś trudność, wystarczy poprosić...

Jeszcze tak a propos ogarniania tego trójkąta, co jest w pełni abstrakcyjny.

Pomijam, że Askadtowieszowi wyszło, że stożki, kule, walce itp. bryły przestrzenne są "częściowo abstrakcyjne", bo mają "trzeci wymiar". Siedzę ostatnio w Pythonie i w tym języku jest taka konstrukcja, co się nazywa None. Ona reprezentuje nic. None w Pythonie różni się od zera, będącego czymś. W innych językach można spotkać protezę takiej konstrukcji, zwaną Null. Przy czym żebyśmy się dobrze zrozumieli: ja mówię w tym momencie o narzędziu w ręku programisty, czyli niekoniecznie naukowca, i niekoniecznie nawet inżyniera; to jest detal techniczny, bardzo wygodny zresztą.

Innymi słowy, to co dla Askadtowiesza stanowi powód do intelektualnych uniesień, dla mnie jest chlebem powszednim.

A osobna sprawa, że dla Askadtowiesza problematyka renderingu 3D, gdzie rozkłada się powierzchnie wielościanów na trójkąty i sprawdza, którym trójkątem obciążyć procesor, a który można opuścić, bo jest zasłonięty przez inne trójkąty, stanowi "sztukę dla sztuki".

Najpierw nie rozpoznajesz neologizmu, teraz znów zartu. Wyluzuj się. W zarcie nie wszystko musi byc realistyczne, chodzi o główną ideę. Nie ma znaczenia czy naprawde przyznają nobla z matematyki. Ale warto rozwinac temat. Myśle, ze w przypadku tak epokowego odkrycia mogliby sie zdecydować na przyznawanie. To byłby precedens.
A jeśli sądzisz ze trywialne, to znaczy ze nie wiesz o czym mówimy.

Mnie się wydaje, że w głównej mierze jest to kwestia niezwykle dobrej pamięci. Czyli bardzo szybkiej konsolidacji szlaków neuronowych. W efekcie utrwalona wiedza i przekonania są mało podatne na zmiany. Stąd też, utrwalone w młodości intuicyjne rozumienie danych kwestii, na długo pozostaje jedyną opcją. Być może to tak, jak ktoś, kto nauczył się mechaniki klasycznej, a potem nie przyjmuje teorii względności, bo w pewnych obszarach ta druga jest wtedy zupełnie nieintuicyjna.

Mozna na to odpowiedzieć rożnie, ale ja odpowiem tak:
każdy punt przestrzeni w układzie kartezjańskim określają wspólrzędne x,y,z.
Ustalmy z=const, na przykład 10. Poniewaz współrzędną z juz ustaliliśmy, pozostaja tylko dwie niezależne zmienne: x i y. Wartości tych dwóch zmiennych dla każdego punktu powierzchni xy wyznaczają jednocześnie wartości trzech współrzędnych kartezjańskich danego punktu.
Z czego płynie oczywisty wniosek, ze do wyznaczenia połozenia punktu w przestrzeni wystarczą dwie współrzędne. Pod pewnym drobnym warunkiem (z=const), ale kto by sobie nim zawracał głowę, gdy chodzi o cele nadrzędne.