zefciu napisał(a):
rafal3006 napisał(a):
Zatem jeszcze raz:
Zatem jeszcze raz powtórzy
rafal wszystkie swoje historyjki o synku. A do moich argumentów się nie odniesie. Strata czasu.
Jakich twoich argumentów?
Debilnego w przypadku twojej rozmowy z synkiem "prawa" kontrapozycji?
... a się pomyliłeś.
Tym razem zrobię ci krótki wykład - skąd w logice biorą się spójniki "na pewno" => i "może" ~> między p i q w zdaniach "Jeśli p to q".
Spróbuj cokolwiek z tego wykładu podważyć, jak to zrobisz to kasuję natychmiast całą algebrę Kubusia.
Wektorowość operatorów implikacjiSpójrzmy na diagram implikacji prostej i odwrotnej w ujęciu wektorowym.
Matematyczne fundamenty algebry Kubusia:
I.
=> - warunek wystarczający
p=>q = p*q =p =1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
W mowie potocznej znaczek => to spójnik "na pewno" => między p i q.
Kluczowe twierdzenie:Spójnik "na pewno" => jest w logice domyślny i nie musi być wypowiadany.
Zdania tożsame to:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jesli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Jak który Ziemski matematyk poda jedno jedyne twierdzenie matematyczne gdzie nie wolno wstawić spójnika "na pewno" => między p i q to kasuję AK. Co więcej, możecie sobie, panowie matematycy, szukać kontrprzykładu dla tego twierdzenia we wszystkich środkach masowego przekazu, we wszystkich językach świata na chińskim i buszmeńskim kończąc, znajdziecie jeden kontrprzykład - kasuję AK.
II.
~> - warunek konieczny
p~>q = p*q =q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji, gdzie zbiory p i q są różne warunek konieczny ~> to spójnik „może”.
III.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
p~~>q = p*q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## implikacja odwrotna ## równoważność
p=>q=~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
i nie jest tożsamy ze zbiorem qDefinicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Rozważmy implikację prostą na przykładzie:
Wprowadźmy definicję warunku wystarczającego =>:=> - warunek wystarczający
P=>4L = P*4L =P =1
p=>q =p*q=p=1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
P=>4L
Zauważmy, że dowodząc iż zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L, co widać na obrazku, udowodnimy poprawnie budowę diagramu logicznego w zbiorach dokładnie jak wyżej.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
p=>q
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L = P =1
p=>q = p*q =p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń ..)
Zbiór jednoelementowy P jest warunkiem wystarczającym => dla zbioru 4L bo wymuszam P i pojawia mi się 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame, co determinuje nam sytuację dokładnie jak na powyższym diagramie. Dowód prawdziwości zdania A plus wykazanie że zbiory P i 4L nie są tożsame determinuje budowę powyższego diagramu w 100%.
Przyjmijmy w nazwach sztywny punkt odniesienia ustalony na zdaniu A, czyli w naszych rozważaniach zawsze będzie:
p=P
q=4L
Zauważmy, że jeśli zamienimy miejscami p i q to dostaniemy zdanie odwrotne:
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P
q=>p
Zdanie AO w zbiorach:
4L=>P = 4L*P =P =0
q=>p = q*p =p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo zbiór na podstawie wektora => 4L (pies, słoń..) nie zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => P (pies)
Zauważmy że w zbiorach dostajemy tu identyczny wynik jak w zdaniu A!
A: P=>4L = P*4L =P
AO: 4L=>P = 4L*P =P
Co z tego że wynik działania w zbiorach mamy identyczny, to ten sam zbiór P (pies), skoro matematycznie zachodzi:
A: P=>4L = P*4L=P
A: P=>4L = P*4L = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń…) stąd prawdziwość zdania ze znaczkiem =>.
AO: 4L=>P = 4L*P =P
AO: 4L=>P = 4L*P =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) ale doskonale widać że w tym przypadku zbiór 4L (pies, słoń..) nie zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => P (pies), stąd w wyniku mamy 0
mimo iż zbiór wynikowy nie jest pusty!Historyczny wniosek:Znaczek warunku wystarczającego => nie nadaje się do opisu implikacji odwrotnej bo:
AO: 4L=>P = 4L*P =P =0
Zauważmy, że mamy tu sprzeczność czysto matematyczną, bo wynik działania w zbiorach to zbiór niepusty P (pies) czyli w wyniku powinno tu być 1 … a jest 0!
Z powyższego wynika matematyczna konieczność wprowadzenia definicji warunku koniecznego ~>.
Definicja warunku koniecznego ~>:~> - warunek konieczny
p~>q = p*q =q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji, gdzie zbiory p i q są różne warunek konieczny ~> to spójnik „może”.
Dopiero po wprowadzeniu znaczka warunku koniecznego ~> uzyskujemy poprawny opis naszego diagramu w kierunku odwrotnym.
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zdanie AO w zbiorach:
4L~>P = 4L*P =P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór P (pies)
Zbiór 4L jest warunkiem koniecznym ~> dla zbioru P, bo zapieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Oczywiście doskonale widać, że w tym kierunku istnieją zwierzęta które maja cztery łapy i nie są psami (słoń, krowa..), stąd w zdaniu AO mamy wymuszony spójnik „może” między p i q.
Pokłosiem tego faktu jest prawdziwe zdanie BO w postaci:
BO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zbiór 4L nie zawiera w sobie zbioru ~P.
Najprostszy dowód iż zbiór 4L nie zawiera w sobie zbioru ~P to skorzystanie z prawa Kubusia:
4L~>~P = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu BO nie może zachodzić warunek konieczny ~>
cnd
Stąd konieczność wprowadzenia do logiki naturalnego spójnika „może” ~~>.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
p~~>q = p*q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.
Dopiero dysponując trzema znaczkami =>, ~>, ~~> o definicjach w zbiorach jak wyżej, opiszemy prawidłowo wszelkie zbiory istniejące na powyższym diagramie
znaczkami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>Implikacja prosta w ujęciu wektorowymDefinicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
i nie jest tożsamy ze zbiorem qDefinicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Rozważmy implikację prostą na przykładzie:
Wprowadźmy definicję warunku wystarczającego =>:=> - warunek wystarczający
P=>4L = P*4L =P =1
p=>q =p*q=p=1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
W implikacji prostej obserwujemy otaczającą nas rzeczywistość stojąc na podstawie wektora warunku wystarczającego =>, czyli stoimy w polu brązowym na powyższym diagramie.
Z tego miejsca nie wolno nam się ruszyć!Opisujemy nasz przykład widziany z tego punktu odniesienia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L = P =1
p=>q =p*q = p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne, co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L
p=>q = ~p~>~q
Z prawdziwości zdania A wynika prawdziwość zdania B co doskonale widać na diagramie.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =0
p~~>~q = p*~q =0
Bo zbiory P (pies) i ~4L (kura, wąż..) są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie B to kontrprzykład dla zdania A. Udowodnienie braku kontrprzykładu B jest wystarczającym dowodem prawdziwości zdania A.
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P (słoń, kura, wąż..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, waż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L):
~P~>~4L = P=>4L
~p~>~q = p=>q
Z prawdziwości zdania C wynika prawdziwość zdania D co doskonale widać na diagramie.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiór ~P (słoń, kura, wąż ..) ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem 4L (słoń, koń..)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=1
Kod:
Definicja symboliczna |Definicja |Definicja
|zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
|dla A:p=>q |dla C:~p~>~q
| p q p=>q | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q = p* q = p =1 | 1=> 1 =1 | 0~> 0 =1
B: p~~>~q= p*~q =0 | 1=> 0 =0 | 0~> 1 =0
C:~p~>~q =~p*~q =~q =1 | 0=> 0 =1 | 1~> 1 =1
D:~p~~>q =~p* q =1 | 0=> 1 =1 | 1~> 0 =1
1 2 a b c 3 4 5 6 7 8 9
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania D jest wymuszona przez definicję implikacji prostej w zbiorach.
Zdania C i D to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek ~q albo q.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB456 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD789 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.
Implikacja odwrotna w ujęciu wektorowymDefinicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
i nie jest tożsamy ze zbiorem qDefinicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
i nie jest tożsamy ze zbiorem qNasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
4L~>P = ~4L=>~P
4L~>P
Zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór P (pies)
Wprowadźmy definicję warunku koniecznego ~>:~> - warunek konieczny
4L~>P = 4L*P = P =1
p~>q =p*q=q=1
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji odwrotnej obserwujemy otaczającą nas rzeczywistość stojąc na podstawie wektora warunku koniecznego ~>, czyli stoimy w polu niebieskim na powyższym diagramie.
Z tego miejsca nie wolno nam się ruszyć!Opisujemy nasz przykład widziany z tego punktu odniesienia:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1
p~>q = p*q =q =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór P (pies).
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P
Prawdziwość zdania A wymusza prawdziwość zdania B.
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
p~~>~q = p*~q =1
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P = ~4L*~P =~4L =1
~p=>~q = ~p*~q = ~p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~4L (kura, wąż …) zawiera się w zbiorze ~P (słoń, kura, wąż..).
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
~4L=>~P = 4L~>P
~p=>~q = p~>q
Prawdziwość zdania C wymusza fałszywość D co doskonale widać w zbiorach.
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P =~4L*P =0
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory ~4L (kura, waż..) i P (pies) są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie D to kontrprzykład dla zdania C. Udowodnienie braku kontrprzykładu D jest wystarczającym dowodem prawdziwości zdania C.
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q):
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=1
Kod:
Definicja symboliczna |Definicja |Definicja
|zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
|dla A:p~>q |dla C:~p=>~q
| p q p~>q | ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q = p* q = q =1 | 1~> 1 =1 | 0=> 0 =1
B: p~~>~q= p*~q =1 | 1~> 0 =1 | 0=> 1 =1
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 | 0~> 0 =1 | 1=> 1 =1
D:~p~~>q =~p* q =0 | 0~> 1 =0 | 1=> 0 =0
1 2 a b c 3 4 5 6 7 8 9
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to jednocześnie definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a.
Matematyczny związek występuje wyłącznie między zdaniami A i C, to definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość zdania B jest wymuszona przez definicję implikacji odwrotnej w zbiorach.
Zdania A i B to w implikacji najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q albo ~q.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy wyłącznie w obszarze AB456 bowiem tylko tu widzimy p=1.
Zero jedynkową odpowiedź na pytanie co się sanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy wyłącznie w obszarze CD789 bowiem tylko tu widzimy ~p=1.
Podsumowanie:
1.
Definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) uzyskaliśmy stojąc niewzruszenie na podstawie wektora warunku koniecznego =>:
p=>q = ~p~>~q
P=>4L = ~P~>~4L
2.
Definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q) uzyskaliśmy stojąc niewzruszenie na podstawie wektora warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q
4L=>P = ~4L=>~P
Na mocy definicji zachodzi:
implikacja proste ## implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
P=>4L = ~P~>~4L ## 4L~>P = ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji