Podałeś metodę. Twierdziłeś, że może tą metoda policzyć maturzysta. maturzysta nie jest uczony wzorów na ruch ze zmiennym przyspieszeniem (a to właśnie oznacza zmienne pole grawitacyjne). Zastosowałem więc jedyny wzór, jakiego maturzysta mógłby użyć - na ruch ze stałym przyspieszeniem.

s = a t^2 /2

gdzie używamy a = g = 9,81 m/s^2 (przyspieszenie ziemskie), t = 9 dób = 777 600 sekund; podstawiając do wzoru otrzymujemy s = 2,96*10^12 m, czyli owe niecałe 3 miliardy kilometrów. Arytmetyka na poziomie szkoły podstawowej.



Mechaniki kwantowej w szkole średniej? Chyba nie wiesz o czym mówisz. W szkole średniej mogliście najwyżej mieć powiedziane, że elektron w atomie może przyjmować tylko określone wartości momentu pędu, i na tej podstawie, używając klasycznego modelu, policzone zostało, na jakich klasycznych orbitach on ten moment pędu miałby. Za przeproszeniem, to nie jest mechanika kwantowa.

Prawdą jest, że w mechanice Newtonowskiej elektron nie spada na jądro. Ale mechanika Newtonowska jest sprzeczna z elektrodynamiką. Mogłoby się wydawać, że niewiele, ale jeżeli to się policzy, a nie poprzestanie na "wydawaniu się", o okazuje się to, o czym mówiłem wcześniej: na skutek emisji promieniowania elektron bardzo szybko straciłby swoją energię i spadł na jądro. Owe fakty (atomy nie promieniują jak szalone i elektrony nie spadają na jądro) przyczyniły się do powstania mechaniki kwantowej.

Nie, wynik prawidłowy, mi też tyle wychodzi, choć liczyłem trochę inaczej. Nie chcąc mianowicie polegać na takich parametrach jak stała grawitacyjna i masa Ziemi wykorzystalem do obliczeń wykorzystać Księżyc i skorzystałem z zależności

(r/r_księzyca)^3=(T/T_księzyca)^2.

która daje promień r szybciej i dokładniej.


W przypadku orbity zdegenerowanej do odcinka, ogniska takiej "elipsy" znajdują się na jej końcach (mimośród=1). Czyli perygeum orbity znajduje się w centrum Ziemi. Przynajmniej tu nie ma problemu.

Trzeba uwzględnić poprawkę, że kowadło zderzy się z powierzchnią Ziemi trochę wcześniej niż dotrze do perygeum = środka Ziemi (zatem musi spadać z nieco większej odległości), ale poprawka ta jest rzędu rozmiarów Ziemi (kilka tys. kilometrów) zatem wynik, który jest rzędu kilkuset tys. kilometrów można uznać za przybliżony.

W przypadku orbity zdegenerowanej do odcinka Ziemia znajduje sie w perygeum, więc odległość apogeum-Ziemia jest równe (z dokładnością do rozmiarów Ziemi) podwojonej długiej półosi. Wynik SweetChilda jest poprawny.

Możemy bez trudu policzyć długość długiej półosi (promień) orbity kołowej, dla której okres jest równy 2*9dób. Będzie to też długość długiej półosi orbity liniowej o tym samym okresie, czyli takiej, w której ciało przebywa odległość między apogeum a perygeum w 9 dób. ponieważ dla tej orbity perygeum=Ziemia, to jest to połowa odległości, z jakiej ciało musiałoby spadać na Ziemię, aby spadek trwał 9 dób.

Mam wrażenie, że nie przemyślałeś wcześniej dostatecznie dokładnie tej metody. Cały trik polega na przejściu od orbity liniowej do kołowej, tak jak zrobił to SweetChild.

To jest właśnie zastosowane do Ziemi trzecie prawo Keplera o którym mówił Albowiem, jakby ktoś nie wiedział.

A ile wynosi mimośród takiej zdegenerowanej elipsy? Wychodzi na to że 1. A to już nie jest wtedy elipsa, tylko parabola

Ale generalnie podejscie jest chyba słuszne z jednym zastrzeżeniem. Czas spadku kowadła to nie 1/2, ale 1/4 okresu orbitalnego. Gdyby nie zderzenie z Ziemią, kowadło przeleciałoby "na drugą stronę", oddaliło sie na odległość a, a potem wróciło z powrotem

Z III prawa Keplera

T^2/a^3 = const

Porównujemy z Księżycem.

Okres kowadła =4*9 = 36 dni
Okres obiegu Księżyca (syderyczny) = 27,32 dni

Kwadrat stosunku obiegów =(36/27,32)^2 = 1,74 jest równy sześcianowi stosunku półosi. Czyli półoś kowadła jest równa 1,2 półosi księzyca, czyli jakieś 460 000 km.

Jednak trochę mało

Sprawdzę jeszcze całkowanie

Parabolę otrzymamy, jeżeli przejdziemy z mimośrodem do 1 a długa półosią do nieskończoności. Gdy długą półoś trzymamy ustalonej długości otrzymamy właśnie orbitę liniową. Ten przypadek jest równoważny przejściu z krótką półosią do 0.


Gdyby tak było, to Ziemia znajdowałaby się w środku elipsy, a nie w jej ognisku, które to w przypadku zdegenerowanym pokrywają się z końcami. Poza tym taka orbita miałaby dwa perygea i dwa apogea, bo w ciągu całego okresu ciało dwukrotnie zbliżałoby się i oddalało od Ziemi. Sam widzisz, że coś tu jest nie tak.

Gdy spłaszczamy elipsę jej ogniska przesuwają się ku jej końcom, ostatecznie je osiągając. Po do tarciu do perygeum ciało "zawraca" odlatując w kierunku apogeum, skąd zaczęło spadać.

Pamiętać trzeba, że w tym modelu zakładamy, że cała masa Ziemi skupiona jest w centrum planety. Tylko wtedy ma sens porównywanie orbit przechodzących bardzo blisko jej środka z orbitą kołową. Dlatego też orbita przebiegająca bardzo blisko środka Ziemi jest silnie zakrzywiana przez pole grawitacyjne, które zachowuje się jak 1/r.

Korzystamy tu z faktu, że dopóki ciało znajduje się poza objętością Ziemi, rozmiary Ziemi nie mają dla niego znaczenia (jesli masę trzymamy ustaloną) - pole grawitacyjne jest identyczne.

No właśnie. coś jest nie tak z modelem redukcji elipsy do odcinka

Okres ruchu kowadła tak czy owak wynosiłby wlaśnie 4*T, ponieważ dopiero po takim czasie kowadlo wróciloby do połozenia wyjściowego. Czyli mielibyśmy apogeum w postaci dwóch punktów, i jednego perygeum (= 0)


Sprawdziłem całkę. Znalazłem jeden błąd (źle wpisaną mase Ziemi). Faktyczna odległość kowadła wynosi 713 000 km. Tak czy owak nie zgadza się z modelem eliptycznym ani w wersji 2*T, ani w wersji 4*T

Chyba nie da się modelu "eliptycznego" tu zastosować, chociuaż pomysł był, przyznaję, pociągajacy.

Przemyślę jeszcze to

Jeżeli masz na myśli natężenie pola grawitacyjnego we wnętrzu Ziemi, to zachowuje się ono jak r, a nie jak 1/r. Domyślam się, że to tylko twoja pomyłka, ale postanowiłem ją sprostować, żeby nie wprowadzać w błąd innych.



Zapewniam cię, że "model eliptyczny" "w wersji 2*T" jest jak najbardziej możliwy do zastosowania i nie ma tu żadnego problemu. Obawiam się, że w twoich obliczeniach jest jeszcze jakiś inny błąd.

Powyższe zdanie jest prawdą przy założeniu, że Ziemia ma stałą gęstość, niezależną od r.

Da się.

Po kolei:
Sprawdź, jak położone są względem siebie orbity o tej samej długiej półosi i różnych krótkich półosiach. Szczególnie zwróć uwagę na orbity bardzo wąskie.

Wiesz także zapewne, że elipsa to zbiór punktów, których suma odległości od ognisk jest stała. Najmniejsza stała jaka to może być, to odległość między ogniskami. Wynika to z nierówności trójkąta. Jeżeli weźmiemy przypadek graniczny i poszukamy punktów, które spełniają warunek:

|AC|+|BC|=|AB|

(A,B - ogniska, C-szukany punkt) otrzymamy... odcinek AB. Ta równość jest spełniana tylko przez punkty wewnętrzne tego odcinka. Dlatego odcinek jest zdegenerowaną wersją elipsy, gdy ogniska pokrywają się z końcami.

Ale w sumie wydaje mi się, że zostało już powiedziane dostatecznie dużo, i nie trzeba dalej drążyć tego tematu. Kto będzie chciał, może sam to dokładnie przeanalizować, siła matematyki polega na tym, że nie podlega dyskusjom.

Proponuję abyście (ty i danbog) wrócili do przerwanej dyskusji (jeżeli jeszcze macie na to ochotę). To było bardziej interesujące.

Heh... kończyć offtop, żeby wrócić do innego

Czytaj szerzej:



Wiem co piszę. Piszę o modelu, który stosujemy do rozwiązania problemu. Gdyby uwzględniać efekt, o którym mówisz, orbity przestają być Keplerowskie i metoda nie da się zastosować.

Muszę przyznać, że cię nie rozumiem. W grawitacji newtonowskiej masa punktowa wytwarza pole grawitacyjne, którego natężenie zachowuje się zawsze jak 1/r^2 (nigdy jak 1/r).

Czy masz może na myśli potencjał pola grawitacyjnego (on rzeczywiście zachowuje się jak 1/r)

Tak, w tamtym momencie chyba myślałem o potencjale. To już chyba takie zboczenie zawodowe, że wydaje mi się bardziej naturalną wielkością do opisu pola grawitacyjnego niż jego natężenie. Natężenie pola (czyli przyspieszenie grawitacyjne) zmienia się oczywiście jak 1/r^2.

Dobrze cię rozumiem.

Mi na przykład litera "g" kojarzy się raczej z wyznacznikiem tensora metrycznego niż z przyspieszeniem ziemskim

Ale masz rację, że ten offtop powinien się już skończyć.

Geometrycznie masz rację. Ale nie ma to żadnego sensu fizycznego. Jeżeli w jednym ognisku takiej elipsy (czyli na końcu odcinka) umieścisz Ziemię, i puścisz na nią kowadło z drugiego końca, to kowadło będzie spadać i przyspieszać aż do osiągnięcia tego punktu, po czym nagle "odbije się" od niego i poleci w druga strone. W nieskończenie krótkim czasie pęd kowadła zmieni się o 2mV.

W rzeczywistości fizycznej bedziemy mieli coś w rodzaju oscylatora, kowadło latające w jedną i druga stronę bez takich nieciągłości.

Model eliptyczny nie ma tu zatem zastosowania. Niespełnione jest tu ani III prawo Keplera, ani II (prędkośc polowa będzie zawsze nieoznaczona), ani I Ruch kowadła będzie niekeplerowski




Bardziej interesujaca jest dyskusja z ludźmi interesujacymi, a nie z nadętymi nic sobą ine reprezentującymi danbogami.

Właściwie, to w tym punkcie mielibyśmy osobliwość: jak łatwo policzyć z zasady zachowania energii lub z II prawa Keplera, prędkość w tym punkcie musiałaby być nieskończona. Więc sytuacja faktycznie jest nie fizyczna. Jednak dla orbity dowolnie bliskiej (bardzo wąskiej), ale nie liniowej, jak łatwo sprawdzić, orbita przebiega bardzo blisko Ziemi, i zawraca koło niej. Taka orbita ma perygeum bardzo blisko Ziemi i apogeum w pewnej odległości od niej. Jest eliptyczna, i ciało poruszające się po niej gwałtownie zawraca w pobliżu Ziemi. Nie obserwujemy oscylatora, nieważnie jak wąską orbitę weźmiemy (zakładając Ziemię punktową, aby uniknąć zderzenia z jej powierzchnią). Zatem przypadek graniczny też nie jest oscylatorem, ale właśnie ruchem po odcinku z odbiciem.

Sytuacja liniowa jest przypadkiem wyidealizowanym, granicznym, dlatego praw Keplera faktycznie nie da się do niej bezpośrednio zastosować. Ruch po takiej "orbicie" pozostaje jednak przypadkiem granicznym ruchu po bardzo wąskiej orbicie, do której prawa Keplera już się stosują. Wzory na wielkości, które nie stają się osobliwe w tym przypadku są tak samo prawdziwe, na mocy właśnie tej graniczności. W szczególności wzór wiążący czas przebycia drogi od apogeum do perygeum i odległość pomiędzy tymi punktami. A te wzory są tu istotne.

Ciało spadające centralnie na Ziemię porusza się tak, jakby poruszało się po takiej właśnie, zdegenerowanej orbicie - oczywiście tylko dopóki nie dotrze na Ziemię, co pozwala uniknąć osobliwości w rzeczywistości fizycznej. Jednak jako, że zdecydowaną większość czasu ciało spędza poza Ziemią, opis za pomocą takiej orbity jest adekwatny, dostarcza rozwiązania problemu z dokładnością do rozmiarów Ziemi. Poprawka do wyniku związana z tym, że model nie opisuje rzeczywistości w końcowe fazie podróży jest takiego właśnie rzędu, poniżej 1%, dlatego wynik można już nazwać przybliżeniem, mimo że oparty na modelu nie odpowiadającym w pełni rzeczywistości. Jak wszystkie modele w fizyce.

Błąd, z II prawa Keplera oczywiście tego nie wyliczymy. Zasada zachowania energii pozostaje w mocy.