Tak w ogóle, to dwa linki, od których powinno się było rozpocząc całe te rozważania: przestrzeń wyłożona przy użyciu machania rękami, przestrzeń wyłożona symbolicznie.

Intuicyjnie pojęcie wymiaru można przybliżyć następująco: bierzemy sobie wektory, bierzemy sobie figurę i patrzymy, ile tych wektorów możemy zaczepić w dowolnie wybranym punkcie wnętrza figury tak, żeby one wszystkie były do siebie wzajemnie prostopadłe i poza figurę nie wystawały (dopuszczamy więc, żeby wektory nam się wyginały razem z figurą). Ilość takich wektorów – to jest właśnie wymiar figury.

Ile ich możemy ich wykreślić na płaszczyznie? Ano dwa: jeden pionowy, jeden poziomy. Ile ich możemy wykreślić w trójkącie? Ano dwa. A w trójkącie sferycznym? Też dwa. A na sferze, co nie ma grubości? Takoż dwa. Dlatego wszystkie te twory mają wymiar równy dwa. A ile ich możemy wykreślić na okręgu? A ile ich możemy wykreślić wewnątrz kuli?

Jest to – pijąc jeszcze do rozważań o krzywiźnie przestrzeni – tzw. rysunek poglądowy, tj. służący wyrobieniu sobie obrazu danego zagadnienia, a nie przedstawiający je w sposób precyzyjnie ścisły; dlatego z rysunku poglądowego wnioskujemy ostrożnie, ponieważ nie da się go użyć do formalnego dowodu.

Aha. A te wyjątki to są dwuwymiarowe czy trójwymiarowe obiekty?

Mogłeś napisać prościej: "nie rozumiem, bo nie odróżniam współrzędnych od wymiarów".

Jaka recydywa?? Dowolna współrzędna obiektu może być zero, ale to wcale nie oznacza, że obiekt ma tym samym o jeden wymiar mniej. W układzie o trzech współrzędnych może być tak, że żadna współrzędna żadnego punktu obiektu dwuwymiarowego nie jest zerowa, a może być że jakieś punkty takiego samego obiektu dwuwymiarowego mają jakieś współrzędne zerowe. Bo to nie zerowa wartość współrzędnej decyduje o liczbie wymiarów obiektu, ale liczba niezależnych współrzędnych koniecznych do jednoznacznego wskazania jego punktu. Zero nie ma nic do rzeczy.


Jeszcze raz: narysuj na kartce kwadrat o boku 5cm. Jakie jest pole powierzchni tego kwadratu? Czy zgadzasz się, że kwadrat jest figurą a jego pole wynosi 5 cm x 5 cm = 25 cm²? A teraz możesz podnieść tę kartkę ze stołu, obrócić w powietrzu albo nic nie robić. Co chcesz. Czy ten kwadrat na kartce trzymanej np. ukośnie albo w jakimkolwiek innym położeniu, nawet pozostawionej na stole, może stać się bryłą? W którym momencie? I pytanie zasadnicze: ile wynosi powierzchnia, a ile objętość tej rzekomej bryły?

Materiał do przemyślenia: starożytni Grecy nie znali kartezjańskiego układu współrzędnych - jeszcze go nie wymyślono - ale bez trudu obliczali pola powierzchni podstawowych figur i objętości brył. Oraz: o tym, co to są figury, a co to bryły, oraz o polach powierzchni i objętościach uczyłeś się, zanim poznałeś koncepcję układu współrzędnych.

Jest jeszcze ciekawiej. W przypadku umieszczenia rogu trójkąta skośnie w punkcie zerowym ukłądu (0,0,0) tylko ten punt ma takie współrzędne, a reszta trójkata juz nie. Podobnie gdy trójkąt przecina jedna z osi, tylko niewielka część jego punktów ma jedną współrzędna równa zero. Każdy wiec wyjątek ma większosć punktów o trzech niezerowych współrzednych. No wiec jakbys zakwalifikował obiekt? Jakie kryteria decydują? Ja odpowiadam, że obiekt kwalifikujemy dopasowujac doń układ.
Którego punktu? Obiekt ma ich mnóstwo i z wyjatkiem nielicznych wiekszosc będzie miała 3 (niezerowe) wspólrzędne. Z takiej definicji nie wyjdzie obiekt dwuwymiarowy, dopóki nie ułożysz tego obiektu na jednej płaszczyznie. Wtedy dopiero każdy jego punkt opisujesz tylko dwiema współrzędnymi (= dwie wystarczą).
I na tej podstawie nazywamy go dwuwymiarowym. A na takiej samej podstawie nie da sie nazwać trójkąta sferycznego obiektem dwymymiarowym. Szkoda, ze moje uwagi na ten temat pominąłes milczeniem.

Wektory nie moga sie wyginać, gdyz z definicji są prostoliniowe. Można wprawdzie zbydowac specjalny układ współrzędnych na powierzchni kuli (czyli oparty na łukach), ale trójkat sferyczny będzie dwuwymiarowy tylko w takim układzie, w prostokatnym juz nie.

Akruk, to co z nim robimy? Dostaje opis intuicyjny i grymasi, że nie dość ścisły. Dostaje ścisłą definicję i polemizuje z nią w oparciu o intuicję. Przy czym polemizuje nie z nami, ale z całym dorobkiem pokoleń matematyków: on lepiej rozumie, co to znaczy wymiar. A co to znaczy: wymiar? Bo na razie Askadtowiesz jak ognia unika zdefiniowania tego pojęcia po swojemu. Można prosić o definicję wymiaru w sensie Askadtowiesza?

A jeśli jeden z jego boków leży na osi? Wówczas nieskończenie wiele jego punktów ma obie współrzędne zerowe. I odpowiesz mi wreszcie, czy te wyjątki są dwuwymiarowe czy trójwymiarowe?


A ja odpowiadam ci cały czas, że znaczenie ma liczba niezależnych współrzędnych, a nie to, czy jakieś są zerowe. A skoro decydujesz, dopasowując układ do obiektu, to powiedz mi, ile wymiarów mają umieszczone jednocześnie w jednym trójwymiarowym układzie współrzędnych trójkąt oraz sześcian. Oba po trzy?


Dowolnego.

WSZYSTKIE punkty trójkąta w trójwymiarowej przestrzeni mają TRZY współrzędne. ZAWSZE. Zerowa wartość współrzędnej nie oznacza, że punkt nie ma tej współrzędnej! Na Jowisza, to ELEMENTARNA wiedza szkolna!!!

CO Z TYM KWADRATEM O BOKU 5 CM?!!

Wieloletnie zaniedbania w obowiązkowym programie szkolnym. Wydaje mu się, że wymiar i współrzędna to jest to samo. Wydaje mu się, że zerowa wartość współrzędnej jakiegoś punktu oznacza, że ten punkt w ogóle nie ma tej współrzędnej... Ręce i nogi opadają. Wydawało mi się, że prosty przykład konkretu z kwadratem o konkretnym boku coś mu podsunie, ale po prostu wstydliwie zmilczał.

Ech, bo on chyba podchodzi do problemu z aparatem wypracowanym przez filozofię, w której prowadzi się rozważania niedowodliwe, więc i zakwestionować wolno wszystko, o ile ma się jakąś myśl własną, niechby i sokalowską. : P Tymczasem w matematyce postępuje się inaczej, boć matematyka to jest precyzyjna siatka wnioskowań ścisłych i niepodważalnych; przesuwanie granic poznania nie polega tutaj na wchodzeniu w spór ze starymi mistrzami *), ale na dodawaniu nowych koncepcji w sposób spójny z istniejącym już dorobkiem, który dlatego trzeba sobie pierwiej przyswoić. Dlatego na przykład Łobaczewski nie kwestionuje Euklidesa, ani Einstein Newtona, ani nawet, o zgrozo, Kopernik Ptolemeusza **), aczkolwiek umysł skupiony na interpretacjach i poglądach zamiast na istocie rzeczy może tak to postrzegać.
____________
* To znaczy, matematyka ma ten etap rozwoju już dawno za sobą: on się skończył jeszcze w starożytności razem z dowodem niewymierności przekątnej kwadratu. W tym sensie filozofia uparcie raczkuje już trzecie tysiąclecie.
** Zgodnie z zasadą względności ruchu, układ odniesienia można zahaczyć na dowolnym ciele niebieskim i dostanie się wtedy poprawne wyniki i przewidywania, co najwyżej z większym wysiłkiem.

Obie współrzędne zerowe? Czyli trojkąt obiektem jednowymiarowym, tak? Czy bierzesz tylko punkty leżące na tym jednym boku i twierdzisz ze- jak to punktów- jest ich nieskończenie wiele?
A gdy inne punkty tego samego trójkąta mają po 3 współrzędne niezerowe i też jest ich nieskończenie wiele, a przy tym niewątplwie więcej niz tych leżących na jednym boku, to mamy prowadzić operacje na nieskończonosciach, mnozyc i dzielić je? Próbujesz sprowadzić sprawe do absurdu?

Wszystkie zwykłe (płaskie) trójkąty są dwywymiarowe, gdyż da sie je położyc na płaszczyźnie.
A punkty takiegoz trójkąta położone nie na jednej płaszczyznie (w wyniku skośnego umiescznia trójkąta w układzie) mają po 3 współrzędne.
Morał z tego taki, ze musimy go położyc na płaszczyznie aby stwierdzic dwuwymiarowość. Cały czas o tym piszę. I po raz kolejny podkreślam, ze nie da sie tego zrobic z trójkątem sferycznym w układzie prostokątnym.

Szesnian ma zawsze 3, a trójkat zależnie od ułozenia, jak opisałem wyzej.
A co to w ogóle są niezalezne współrzędne, po co ten przymiotnik?

Czy nie widzisz, ze w przypadku ukośnego położenia (aby nie komplikować- nie stykajacego sie z osiami)
trojkąta takich współrzędnych będzie 3 (dwie nie wystarczą), więc musiałbys skonkludować iż trójkąt to obiekt trójwymiarowy.


Każdy to wie i ponadto mówilismy juz o tym, więc nie cwaniakuj i nie wyszukuj pozornych sprzeczności. Chyba widzisz kontekst: współrędne niezerowe.
Co chcesz wykazać? Czy ja pisałęm, ze kwadrat lub trojkąt (płaski) jest bryłą? Czytaj dokładnie a nie z intencjami.

Buecheche, ktoś tu w istocie cwaniakuje i nie jest to akruk. A dlaczego moje posty nie doczekały się odpowiedzi? Są zbyt zrozumiałe dla publiczności, tak że nie da się w odpowiedzi cwaniaczyć – czyż nie?


Askadtowiesz przewinie sobie dyskusję wstecz do miejsca, w którym akruk mu to wytłumaczył.

Biorę na siebie pierwszy ogień, żeby akruka szlag nie trafił. : )


Nie. On twierdzi, że... dobrze, ja twierdzę, że ty bredzisz. Tak po prostu. Bo trzymasz się kurczowo jakichś swoich uroszczeń i wydaje ci się, że w matematyce tak się postępuje, że się wchodzi w spór, a kultura sporu wymaga...

Nie, proszę ja ciebie: w matematyce śledzi się rozumowania, a kultura roboty matematycznej wymaga, aby prześledzić je i zrozumieć w całości. Rozumowania zakorzenione są w założeniach, na przykład: niech S będzie sferą dwuwymiarową. Potem następują definicje, na przykład: trójkąt sferyczny T jest to taki podzbiór S... Nie chce mi się wchodzić w szczegóły, bo dla naszych rozważań potrzeba i wystarcza wiedzieć, że T zawiera się w S, zupełnie i w całości. Zatem nie ma grubości, jak ci to już zresztą kładłem. Zatem nie może być bryłą. CBDO.


Widzisz akruku, on nie rozróżnia nawet pojęcia mocy zbioru od pojęcia miary zbioru. On by oczywiście mógł pójść w kurs po wikipedii czy góglnąć sobie, ale nawet jeśli zrozumie, to czy się przyzna, po tym co nam przeskrobał?

Dzieci drogie, nie idźcie tą drogą. Jeśli czegoś nie rozumiecie, mówcie prosto: nie rozumiem. Lżejszy to uraz dla miłości własnej.


I tu go mamy, naszego pieska-koteczka. Otóż widzisz akruku, jemu się wydaje, że sfera jest trójwymiarowa.

Sfera, oczywiście, jest dwuwymiarowa. Nie jest to stwierdzenie intuicyjnie oczywiste i sam byłem nim zaskoczony; starczyła mi jednak chwila, żeby zorientować się, w czym rzecz: sfera nie ma grubości! Zatem abstrahując od tego, w czym jest zanurzona, do ponumerowania jej punktów starczają mi góra dwie zmienne: namiar na równik i namiar na umówiony południk. Natomiast zgoła do niczego nie jest mi potrzebny promień sfery, bo on wszędzie na sferze jest stały!

Dlatego sfera ma wymiar równy dwa! I tylko dlatego jesteśmy w stanie kreślić mapy powierzchni Ziemi! Askadtowiesz rozumie?


I to jest właśnie brednia, panie kolego. I pan to doskonale rozumiesz, boś nie kretyn. No więc co dla pana waży więcej: honor czy pycha?


Ahem, akruku: liniowo niezależne współrzędne. Jak go maglować, to na całego.


Nie, nie musiałby. I ja też nie musiałbym. Tylko ty musiałbyś. Ale nie mierz nas swoją miarą...


Widzisz akruku, uczepił się jak brzytwy, a teraz jeszcze chwyta się brzydko. Dlaczego? Bo honoru nie ma. Honoru, który każe przyznać się do błędu bądź niedokładności...

Co najciekawsze, on tak może jeszcze długo, bo on domaga się wykazania sprzeczności w swojej definicji (której wprost i w pełni w ogóle nie podał!), a my mu musimy wykazać, że w jego robocie jest tyle sensu, co, powiedzmy, w domaganiu się definiowania okręgu z jednym końcem. Bo w istocie, okrąg jest równoliczny z odcinkiem z jednej strony domkniętym. Czyli że jeden koniec ma! Ale czy fakt ten jest komukolwiek do czegokolwiek potrzebny?

A do Ciebie, akruku, pytanie mam: wiesz może, co oznacza dU (d odwrócone) w tej definicji? Bo raz mi się zdaje, że brzeg, a raz, że domknięcie. A może w ogóle coś innego?

Ajjj, popłynąłem. : (((

Sfera jest dwuwymiarowa dlatego, że do jej opisania potrzebne są co najmniej dwie współrzędne, na przykład namiar na równik i namiar na umówiony południk. Sferę oczywiście można opisywać np. trzema współrzędnymi, z uwzględnieniem np. jej promienia, tyle że nie ma to większego sensu, bo promień wszędzie na sferze jest stały. Podobnie nie ma większego sensu opisywanie sfery np. 301993 współrzędnymi, jakkolwiek da się to zrobić. Natomiast sfery nie da się opisać jedną współrzędną, nie jest ona punktem ani nie jest zbiorem pustym. Dlatego wymiar sfery równy jest dwa – bo takie jest niezbędne minimum zmiennych koniecznych do jej opisu.

Taki jest sens tego pojęcia i widać, że przydaje się ono przy szacowaniu nakładu pracy rachmistrza, zanim on się jeszcze do tej pracy zabierze.

Nie. Współrzędna punktu równa zero to nie jest to samo, co "ten punkt nie ma współrzędnej". Ponadto wymiar to nie jest to samo co liczba współrzędnych. Wymiar to liczba współrzędnych, które nie zależą jedna od drugiej.

Nie biorę tylko punktów na tym jednym boku, ale biore je także, bo one również, tak jak inne punkty trójkąta, należą do niego. Natomiast, owszem, jest ich nieskończenie wiele.

Nie słyszało się o Cantorze, co?

Nie. Wszystkie trójkąty są płaskie, gdyż da się je położyć na płaszczyźnie. Dlatego wszystkie obiekty, które są płaskie, są dwuwymiarowe. Ale to nie oznacza, że wszystkie obiekty dwuwymiarowe muszą się dać położyć na płaszczyźnie. Ponieważ "płaski" oraz "dwuwymiarowy" to nie jest to samo.
Prawdziwość stwierdzenia "T jest P, więc T jest D2", nie oznacza, że "P=D2", lecz że P jest podzbiorem, D2. Czyli że wszystkie P są D2, ale niekoniecznie wszystkie D2 są P. Poprawność stwierdzenia, że "tygrys jest ssakiem, więc jest czworonogiem" - nie oznacza, że wszystkie czworonogi to ssaki. Oznacza, że wszystkie ssaki to czworonogi. Krokodyl to także czworonóg, a ssakiem nie jest.

Czyli liczba współrzędnych w konkretnym układzie nie jest tym samym co wymiar obiektu. Zaś wymiar obiektu jest cechą obiektu, cechą niezależną od wybranego układu. Trójkąt zawsze ma dwa wymiary, w dowolnym układzie, a sześcian - zawsze trzy.

I co z tego? Da się natomiast w układzie współrzędnych sferycznych. Skoro do zwykłego trójkąta w przestrzeni potrzebujesz (doprawdy, nie wiem po co) sobie dopasowywać układ współrzędnych, żeby wyraźnie leżał na jakiejś powierzchni, to w czym problem dopasować sobie układ dla trójkąta sferycznego? Powiem więcej: przeważnie tak się właśnie robi - choć wcale nie ze względu na potrzebę ustalenia wymiaru - na trójkątach sferycznych operuje się w układzie współrzędnych sferycznych. W prostokątnych byłoby to niewygodne.

Nie, nie musiałbym tak konkludować. Ponieważ, zaprawdę powiadam ci: ZEROWA współrzędna NIE oznacza NIEISTNIENIA współrzędnej, zaś liczba wymiarów obiektu NIE jest równa liczbie współrzędnych układu, ale wynosi CO NAJWYŻEJ tyle.


Każdy to wie i ponadto mówilismy juz o tym, więc nie cwaniakuj i nie wyszukuj pozornych sprzeczności. Chyba widzisz kontekst: współrędne niezerowe.[/quote]Srontekst. Zerowe czy niezerowe - to nie ma znaczenia. ZERO TO TAKŻE WSPÓŁRZĘDNA! Jak przesunę układ współrzędnych w jednym , drugim, trzecim kierunku, to wszystkie punkty, które dotychczas miały zerowe współrzędne, będą mieć niezerowe. A wymiar obiektu geometrycznego pozostanie taki sam. Bo jest niezmienną cechą obiektu.

Oko mi lata, żyłka mi pulsuje. Szczęściem, pisząc łatwiej zapanować nad cisnącymi się wulgaryzmami.

Jeszcze mam resztki nadziei na wytłumaczenie, więc prostym językiem, aby tylko zrozumiał.

Nie wiem.

Kurczę. To MU2 spać mi nie daje od wczoraj. Nie, żeby było szczególnie trudnym wyrażeniem, ale a) wypadłem z obiegu jeszcze w zeszłej dekadzie, b) lektura tekstów matematycznych nigdy nie przychodziła mi bez poważnego wysiłku. Co ciekawe, o wiele łatwiej jest mi wyrażać się symbolami, niż przyswajać sobie zapisaną tak wiedzę. To normalne?