Jeżeli rozpatrujesz orbitę, która nie jest całkowicie w obszarze, gdzie siła grawitacji zachowuje się jak 1/r^2, następuje zmiana jakościowa i nie można użyć III prawa Keplera do takiej orbity. Taka orbita nie jest ani orbitą keplerowską, ani zdegenerowanym przypadkiem takiej orbity (odcinkiem z Ziemią na jednym z końców).

Nie wiem natomiast, jak przeprowadzałeś całkowanie. Ja też przeprowadziłem odpowiednie obliczenia i wychodzi wzór zgodny z tym co wcześniej mówiłem.


Odbywa się. Jednak drugi model (z tunelem) nie jest przypadkiem granicznym orbit keplerowskich i nie można do niego stosować III prawa Keplera. Tracimy tym samym prawo porównywania tej orbity z orbitą kołową i nie mamy sposobu by łatwo policzyć jej okres, na podstawie którego wyliczylibyśmy poszukiwaną odległość. Model nie nadaje się do rozwiązania zagadnienia.

Obawiam się, że wpadasz w pułapkę, przed którą sam ostrzegałeś: metodą podstaw-do-wzoru. Dla modelu który proponujesz, nie mamy wygodnych wzorów, na które można by się powołać, a nie możemy stosować wzorów, które nie stosują się w tym przypadku (jak III prawo Keplera)

Jak wyślesz mi na PW adres mailowy, mogę przesłać ci wszystkie swoje obliczenia w LaTeXie i pdf, sprawdzisz. Ciężko jest je zaprezentować w pliku czysto tekstowym.

Jestem użytkownikiem pewnego forum, na którym w postach można bezpośrednio umieszczać wzory napisane w TeXu.

Gdybym napisał tam w poście coś takiego:

[tex]e^{i \cdot \pi} + 1 = 0[/tex]

to ostatecznie wyświetliłby się wzór w odpowiedniej, eleganckiej postaci.

Myślę, że taka możliwość przydałaby się również na tym forum (zwłaszcza w tym dziale). Jeżeli się ze mną zgadzasz to proponuję poprosić o to w dziale "Moderacja".

Owszem. I dlatego trzeba wyjśc bezpośrednio od równania a = G*M/x^2, a następnie całkować w granicach od L(szukana odległośc) do R (promień Ziemi)

Stosowanie praw Keplera jest kuszące (bo znacznie prostsze), ale chyba nieprawidłowe.

To co napisałeś o twojej metodzie liczenia jest dla mnie zbyt ogólne. Równanie a = G*M/x^2 jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu i ogólne określenie "całkować" nie wystarcza, aby było wiadomo o co dokładnie chodzi. Jak dokładnie przeprowadzałeś twoje całkowanie?

Poza tym, jeśli już policzymy tę całkę (jak się domyślam po x, skoro w granicach od L do R), to co otrzymamy w wyniku? Jak to powiązać z czasem spadania?

Przyznam, że próbowałem już na różne sposoby z mizernym skutkiem... Dlatego policzyłem to numerycznie, dzieląc czas spadania na 1.000.000 okresów dt (krótszych niż 1 sekunda), dla których założyłem, że ruch możemy traktować jako jednostajnie przyspieszony. Wynik jest następujący:

Gdy kowadło będzie spadać z odległości 580 294 617 metrów, to po 9 dobach znajdzie się 231m od środka Ziemi.

W zasadzie lepiej było policzyć odległość, dla której po 9 dobach kowadło znalazłoby się jakieś 6300km od środka Ziemi, ale dopiero teraz to zauważyłem... W każdym razie różnica jest niewielka, jako że w końcowej fazie ruchu kowadło ma już bardzo dużą prędkość.

Jest to wynik identyczny (w granicach przybliżeń) z wynikiem, który otrzymałem wcześniej na bazie metody zaproponowanej przez wiecznego_studenta.

Wiele wskazuje na to, że to wynik całkowania jest błędny.

Pilaster !



Uprzejmie dziękuje za odpowiedz , oznaczającą że wiesz o czym mowa - mimo że absolutnie się mylisz w ocenie mojej osoby , oraz moich poglądów . Ale o tym będzie dalej .

Zatem możemy się zgodzić [ jak rozumiem ] , że nauka nie toleruje żadnej sprzeczności [ bo to czyniło by logikę bezużyteczną jako kryterium wnioskowania ] . Zatem nauka nie może tolerować żadnych poglądów , które opierają się na sprzecznosci , lub takową zawierają [ niezależnie o tego , czy są to poglądy Danboga , czy Pilastra ] .
Czy jest to absolutnie jasne i czy masz co do tego jakieś uwagi ?

Jeśli nie , należy jedynie ustalić , czy dany pogląd takową sprzeczność zawiera .




Masz racje , niechce mi się wertować naszych postów , by ustalić co odpowiedziałeś [ bo jakoś przeoczyłem ] . Więc z łaski swojej , bądź tak uprzejmy i odpowiedz krótkim tak , lub nie . To o wiele mniej pisania niż zdanie , które byłeś łaskawy wyartykółować .
Zapytam , więc ponownie :

Czy w roku 1900 maturzysta wiedział o istnieniu DNA , albo jądra atomu ?

Bez przesady, to co my tu uprawiamy w tej chwili, to margines marginesu. Normalnym użytkownikom tego forum TeX jest do niczego nie potrzebny. Tylko my tak dziwnie mamy

@SweetChild

Jaką całkę

Mamy równanie różniczkowe a = -x'' = G*M/x^2. Prim (') oznacza pochodną po czasie. Przyspieszenie kowadła (a) jest oczywiście drugą pochodną położenia kowadła (x) po czasie. Znak minus wynika z tego, że kowadło zbliża się do Ziemi (która jest początkiem układu współrzędnych) przy założeniu, że x>0.

Równanie to jest równaniem drugiego rzędu, które jednak nie zależy explicite od czasu (t). To znaczy, że można go przekształcić w układ dwóch równań pierwszego rzędu:

Niech q(x) = x' (I równanie, będące jednocześnie definicją q).

Wówczas oryginalne równanie można przekształcić do postaci:

-(dq/dx)*q = G*M/x^2 (II równanie)

Dopiero teraz jest sens wykonywać jakiekolwiek całkowanie. Najpierw należy zcałkować równanie II (po x) i wyznaczyć z niego funkcję q(x).
Następnie należy wstawić otrzymaną funkcję q(x) do równania I. Wtedy równanie I, po odwróceniu szukanej funkcji x(t) również będzie się nadawało do zcałkowania (znowu po x). Otrzymamy jawny wzór na funkcję t(x), którą być może będzie się dało odwrócić i otrzymać jawny wzór na funkcję x(t).

W obliczeniach trzeba więc wykonać 2 całkowania, a nie tylko jedno. Oczywiście należy pamiętać o stałych całkowania i warunkach początkowych. Czy teraz sobie poradzisz?

Powodzenia panowie...

Masz rację. Chyba trochę przesadziłem

Dzięki za sprowadzenie mnie na ziemię

Albo skorzystać z zasady zachowania energii, która od razu daje równanie I stopnia (bo jest de facto równaniem Newtona odpowiednio wycałkowanym). Mam przygotowany pdf z takim rozwiązaniem, jeśli ktoś jest zainteresowany proszę o wiadomość na PW.

potwierdzam

Mnie nie pytaj, ja chciałem się dowiedzieć, jaką całkę miał na myśli pilaster.



Dzięki, sporo sobie przypomniałem po Twoim poście Próbowałem policzyć podobnie, tzn. wychodząc od równania
d²x/dt²=G*M/(L-x)²

tylko że równania różniczkowe liczyłem kilkanaście lat temu i stwierdziłem, że pamięć jest ulotna

Przy okazji, w mianowniku prawej strony powinno być chyba (L-x)² zamiast x²? Ten x z lewej to droga przebyta przez kowadło, a nie odległość od Ziemi.

A tymczasem ciekawość wzięła u mnie górę nad wytrwałością i zapisałem się na rozwiązanie wiecznego_studenta.

x nie jest drogą przebytą przez kowadło.
x jest współrzędną położenia kowadła w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym Ziemia znajduje się w środku. Zagadnienie jest tak naprawdę 1-wymiarowe i dlatego wystarczy rozważać jedną współrzędną. Kowadło spada na Ziemię wzdłuż osi X układu współrzędnych. Pozostałe współrzędne (y i z) są dla kowadła cały czas równe 0.

Dlatego też odległość kowadła od Ziemi (r) jest równa po prostu x (dla x>0), a nie L-x.

@SweetChild

W jaki sposób piszesz w swoich postach te małe indeksy u góry, oznaczające wykładniki potęg? Domyślam się, że zmniejszasz wielkość czcionki, ale jak je umieszczasz u góry?