Sewrynie, jedno z niewielu twych zdan ktore rozumiem ( a przynajmniej tak mi sie zdaje ) i sie z nimi zgadzam.

Zagadnienie jest jednowymiarowe, ale chodziło mi o następujący problem:

1. W położeniu początkowym odległość kowadła od Ziemi wynosi L.
2. Po czasie Δt kowadło przebędzie drogę Δx, prędkość kowadła będzie wynosiła V=Δx/Δt, przyspieszenie V=Δx/Δt² a odległość od Ziemi L-Δx.

Ale dostałem już rozwiązanie wiecznego_studenta i widzę, że złożoność obliczeniowa zagadnienia mnie przerasta i musiałbym zainwestować sporo czasu w przypomnienie sobie rachunku różniczkowego. Dlatego nie będę już drążył tematu.

Przy okazji dzięki za wsparcie, a wiecznemu_studentowi za rozwiązanie zadania



Nie, wybieram poprzez tablicę znaków (Programy->Akcesoria->Narzędzia systemowe) i potem kopiuj/wklej. Trochę uciążliwe, ale czego nie robi się dla nauki i wygody Czytelnika

Można też poprzez lewy klawisz <ALT> i wpisanie kodu znaku z klawiatury numerycznej, ale trzeba pamiętać kody (np. jeśli przy wciśniętym lewym ALT wpiszesz 65 na klawiaturze numerycznej to pojawi się litera 'A', 66 odpowiada 'B" itd.).

Nie ma żadnego problemu.

Po pierwsze Δx nie jest przebytą drogą, tylko zmianą położenia. To nie to samo nawet w przypadku jednowymiarowym. Przebyta droga jest zawsze dodatnia, a zmiana położenia może być ujemna i w tym przypadku rzeczywiście tak jest (pod warunkiem, że x > 0). Jeżeli przebytą drogę oznaczymy przez s, to w naszym przypadku s = -Δx

Zauważ, że jeżeli x to aktualne położenie kowadła po krótkim okresie spadania, to Δx = x-L (Δx < 0). Wówczas aktualna odległość kowadła od Ziemi jest równa: L-s = L+Δx = L+x-L = x.





Bardzo dziękuję za wyjaśnienie

Zgoda, powinienem był napisać zmiana położenia, a nie droga.



Jeśli początek układu współrzędnych (x=0) jest w środku Ziemi, to rzeczywiście tak to wygląda i równanie jest poprawne (z minusem po jednej ze stron).

Jeśli jednak początek układu (x=0) przyjąć w punkcie początkowym ruchu kowadła, a Ziemię umieścić w punkcie o współrzędnej x=L, to nadal nie dostrzegam błędu w moim równaniu, czyli tym z (L-x)² i bez minusa). Czy takie podejście jest fizycznie poprawne, tylko bardziej skomplikowane obliczeniowo, czy też jest w nim jakiś błąd?

Tak "na oko" rozwiązanie tych dwóch równań będzie inne, bo nie wydaje mi się, aby brak minus z jednej strony równania był równoważny pojawieniu się wyrażenia (L-x)² zamiast x². Niestety, policzyć tego nie potrafię... Z drugiej strony, na bazie mojej wersji równania wyznaczyłem rozwiązanie metodą numeryczną i wynik był poprawny.



Cała przyjemność po mojej stronie

A tak przy okazji całek - jakiś czas temu spróbowałem policzyć całką pole koła. Okazało się też sporym wyzwaniem, przynajmniej dla kogoś, kto z całkami nie miał do czynienia ładnych kilkanaście lat...

Jeżeli Ziemia znajduje się w punkcie x = L, a początkowe położenie kowadła to x = 0, to twoje równanie jest poprawne, choć oczywiście bardziej skomplikowane.

Aby się o tym przekonać wystarczy w mojej wersji równania (ze zmienną x) dokonać zamiany zmiennych x = L-x1. Wówczas otrzymamy twoją wersję równania (ze zmienną x1)

No cóż, i ja otrzymałem rozwiązanie studenta.

Pomijając same obliczenia studentowi wyszło następujace równanie x(t)

x^3 = 8*G*M*t^2/pi^2

Czyli x(t) = (8*G*M/pi^2)^(1/3)*t^(2/3)

W uproszczeniu x = A*t^(2/3), gdzie A = (8*G*M/pi^2)^ (1/3)

Niestety, jak mi się wydaje, nie sprawdził on tego rozwiązania. jezeli bowiem zrózniczkujemy x(t) po t to

d2(x)/dt2 = 2/3*(-1/3)*A*t^(-4/3) = -(2/9)*A*t^(-4/3)

Jeżeli teraz podstawimy wynik do równiani od którego wszystko się zaczęło

-d2x/dt2 = GM/x^2

to otrzymamy

(2/9)*A*t^(-4/3) = GM/((A^2)*t(4/3))

Czyli po uproszczeniu (2/9)*A^3 = GM

(2/9)*8*G*M/pi^2 = GM

16/9 = pi^2

No nie chce wyjśc za żadne skarby

Rozwiązanie studenta jest niestety nieprawidłowe. Stosowanie reguł Keplera do orbity zdegenerowanej jest zatem nieadekwatne.

student



A może właśnie dlatego nie jest potrzebny, ze go nie ma? Gdyby był, to znalazłby zastosowanie.

Skąd ci to przyszło do głowy? W tym wzorze x i t to całkowita droga i całkowity czas (w wysłanym przez ze mnie rozwiązaniu oznaczone jako r_0 i t_k) wyliczone przy założeniu, że początkowo ciało spoczywało. Nie można uogólnić tego wzoru na wielkości chwilowe x(t) - wzór nie opisuje zależności przebytej drogi od czasu.

Jeżeli chcesz poznać zależność drogi przebytej od czasu musiałbyś odwikłać odpowiednie równanie wiążące ze sobą r_k i t_k; uzyskana zależność r_k(t_k, r_0) opisuje zależność położenia od czasu i położenia początkowego.

Znowu wpadłeś w pułapkę "podstaw_do_wzoru". Nie wystarczy znać wzór, trzeba wiedzieć, kiedy można go stosować.

Zresztą dostałeś całe obliczenie, krok po kroku. Jeżeli twierdzisz, że wynik jest błędny, błąd musiał wystąpić gdzieś wcześniej. Potrafisz go wskazać? Ja twierdzę że błędu nie ma.

To co opisuje? Opisuje drogę (x) przebytą w czasie t. Gdyby t wynosiło 1 sekundę, to opisuje droge przebytą w tej sekundzie. Oczywiście przy założeniu,że poczatek układu współrzednych znajduje się w miejscu startu kowadła

Postawmy pytanie inaczej. Jak wygląda rozwiązanie równania rózniczkowego, juz kilkukrotnie przytoczonego?

-d2x/dt2 = GM/x^2

Jezeli nie uwzględniamy rozbicia się na powierzchni Ziemi to musimy calkowac po czasie od 0 do T, i po odległości od r do 0

A ponieważ rozwiazaniem tego równania jest funkcja postaci x(t)=C*t^(2/3), to...

szukana odległośc bedzie wynosić r = C*T^(2/3)

i szluss.

To jest równanie na odległość początkową od środka układu współrzędnych, z jakiej ciało musiałoby spadać swobodnie (z zerową wartością początkową), aby czas jego spadku trwał t. Inaczej mówiąc: ciało umieszczone w punkcie x, nie posiadające prędkości początkowej, spadnie na centrum układu współrzędnych po czasie t.

Zależność x(t) opisuje, jak należy zmieniać punkt początkowy, aby odpowiednio zmienić czas spadku a jego pochodna nie ma nic wspólnego z prędkością.


Znalazłeś jakieś rozwiązanie równania, ale nie jest to rozwiązanie problemu fizycznego. Dlaczego? Bo zapomniałeś czym jest x w tym równaniu. Z postaci siły grawitacyjnej widać, ze x jest odległością od środka Ziemi (bo wtedy siła dana jest wzorem F=-GM/x^2). A to oznacza, że szukamy rozwiązania, dla którego x(t=0)=x_0, v(t=0)=0. Łatwo sprawdzić, ze twoje rozwiązanie nie spełnia tych warunków.

Pamiętać trzeba, że każde równanie różniczkowe ma wiele rozwiązań, i znalezienie jednego z nich nie wystarczy do zakończenia rozwiązywania problemu.

Znalazłeś pewne rozwiązanie równań ruchu, ale nie jest to rozwiązanie opisujące spadek swobodny kowadła. Jak łatwo sprawdzić opisuje ono ciało oddalające się od Ziemi i odlatujące w nieskończoność: zupełnie inna sytuacja, niż ta, która nas interesuje.

Wieczny_student !



To nie ja napisałem . Zaznaczam tak dla porządku .

Co do meritum , to zajeliście się rozwiazywaniem tego ciekawego zadania - co niema nic wspólnego z tytułem wątku .

Przepraszam. Oczywiście był to cytat z pilastra.

A ile wynosi C w tym rozwiązaniu? Poza tym, jeśli C jest stałe, to dla

x(t)=C*t^(2/3)

pierwsza pochodna po czasie

dx/dt = 2/3*C*t^(-1/3)

a druga

d²x/dt² = -2/9*C*t^(-4/3)

Porównując to ze wzorem

d²x/dt² = -GM/x² = -GM/C²*t^(-4/3)

znajdujemy

C^3 = 9/2*GM

To jest pewne rozwiązanie równań ruchu, ale nie spełnia określonych warunków początkowych, czyli opisuje inną sytuację fizyczną.

Wówczas wynik liczbowy mielibyśmy w następujący:
G = 6,67e-11 m³/(kg*s²)
M = 6e24 kg

C³=1,8009e15 m³/s²
C≈121 664 m/s^2/3

T = 9 * 24 * 3600 = 777 600 s
r = C*T^(2/3)
r = 1 028 804 666 m ≈ 1 028 805 km

Jest to rezultat zauważalnie różniący się od poprawionego wyniku całkowania podawanego przez pilastra:





Czyli ta odległość ca. 1 mln km odpowiadałaby ruchowi kowadła z tej samej pozycji początkowej, ale w przeciwnym kierunku (siła grawitacji działała odpychająco)?. Chyba nie bardzo, bo wówczas przyspieszenie maleje z kwadratem odległości, więc powinniśmy dostać wynik zdecydowanie mniejszy niż w przypadku ruchu w kierunku Ziemi...

No, OK. Niech będzie że nie spełnia. To jakie spełnia? Jak wygląda funkcja będąca rozwiązaniem równania

-d2x/dt2 = GM/x^2

i jednoczesnie opisująca poprawnie nasz problem?

Czyli właściwie jak wygląda rozwiązanie w-studenta?

SweetChild



Faktycznie, gdzieś przy liczeniu zgubiłem trójkę.

A nie zauważyłem przy sprawdzaniu, bo szukałem błedu zwiększajacego, a nie zmniejszającego

Bo moje pierwsze rozwiązanie wyglądało tak:

x^3 = 1,5*GM*t^(2/3)

Ale faktycznie poprawnie jest 4,5

Przy uwzględnianiu promienia Ziemi R,

x^3= 4,5*GM*t^(2/3)+R^3