Dobra, uproścmy model, tak żeby dał sie ogarnąć. Zredukujmy totolotka do rzutu kostką, gdzie jest nie 14 mln możliwości a tylko 6

1. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienie "szóstki" w takim lotku? Oczywiście 1/6.

Teraz zapytajmy jakie jest prawdopodobieństwo, że w dwóch kolejnych rzutach otrzymamy dwie takie same wartości

Istnieje 36 kombinacji wyników, z czego sześć (1,1) (2,2) (3,3), (4,4) (5,5), (6,6) daje nam oczekiwany rezultat, czyli jego prawdopodobieństwo wynosi (6/36), czyli ...1/6

Teraz przychodzi Johnny99 i się zastanawia.

W poprzednim rzucie wypadło 4. Jakie jest prawdopodobieństwo że wypadnie i w tym rzucie ?

No oczywiscie jest takie samo, czyli wynosi 1/6.

Teraz mamy inną sytuację. powiedzmy, ze w dziesieciu poprzednich rzutach wypadło "1". Jakie jest prawdopodobieństwo że ta sama wartośc wypadnie w jedenastym rzucie?

Jezeli to dla kogoś jest nadal niezrozumiałe, to proponowałbym, żeby zaopatrzył się w kości i wykonał taki eksperyment. Ewentualnie może użyc generatora liczb pseudolosowych z excela.

No dobrze. Ale teraz weźmy trzy kolejne rzuty. Kombinacji wyników jest teraz 216, ale oczekiwany rezultat daje nadal tylko sześć - (1,1,1), (2,2,2) itd. Prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi więc 1/36 (jeżeli dobrze liczę). Jest to zresztą zgodne z wcześniejszą deklaracją pilastra. Więc teraz kiedy przyjdę i się zastanowię: w poprzednich dwóch rzutach wypadło 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 4 wypadnie i w trzecim - muszę odpowiedzieć, że wynosi ono już nie 1/6, tylko 1/36. Pomimo tego, że jest to taki sam rzut, taką samą kostką, tak samo niezależny od poprzednich. I jest to w pełni zgodne z intuicją.

Owszem, to jest prawdopodobieństwo tego, ze wypadną trzy liczby z rzędu, (1/6)^2, dla czterech będzie to (1/6)^3, etc jednak:



Jest błędne, ponieważ poprzednie dwa rzuty już się wydarzyły i ich wynik jest znany. Z prawdopodobieństwem równym 1 Czyli zamiast mnożyć 1/6*1/6, mnożymy 1*1/6.

Zresztą naprawdę niech Johnny99 porzuca tymi kostkami (względnie zasymuluje w excelu) i zobaczy co wychodzi.



Niestety intuicja w takich przypadkach zawodzi

I dlatego prowadzenie biznesu hazardowego jest takie lukratywne. Bez jakiegokolwiek oszukiwania

Tradycyjnie dla tego forum i nie tylko tego problem między Johnnym a pilastrem polega tylko na wzajemnym niezrozumieniu i braku ścisłości. Rzecz w tym, że każdy z nich inaczej definiuje losowe zdarzenie elementarne, którego prawdopodobieństwo ma być obliczane. Johnny pyta jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia zdefiniowanego jako:
- ten sam wynik w 3 losowaniach pod rząd - 3 losowania są jednym zdarzeniem!!!
A pilaster, żeby wyszło na jego, udaje, ze nie rozumie i zamienia jedno zdarzenie losowe Johnny'ego na 3 niezależne zdarzenia - 3 odrębne losowania.

Czyli jeszcze nie przeprowadziliśmy losowań i pytamy jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia tego samego wyniku losowania w 3 losowaniach - te 3 losowania są łącznie jednym zdarzeniem losowym, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć. A nie jak chce pilaster trzema różnymi zdarzeniami losowymi.

Oczywiście wina leży też po stronie Johnny'ego, który tradycyjnie dla siebie, nie bardzo umie ściśle wyrazić swe myśli.

Sądziłem, że daję to jasno do zrozumienia, mówiąc o "parach". Taki był właśnie sens ich wprowadzenia - każda "para" jest jednym zdarzeniem.



Nie rozumiem. W jaki sposób zdarzenie: "wyrzucenie kostką trzy razy pod rząd tej samej cyfry" i zdarzenie: "wyrzucenie kostką po raz trzeci tej samej cyfry" mogą mieć różne wartości prawdopodobieństwa?

Bo są to różne zdarzenia. Widać to nawet po liczbie rzutów. W pierwszym rzucasz trzy razy W drugim tylko raz.

btw jeżeli Tomcio uważa, że pilaster tłumaczy źle i niechlujnie, niech sam zademonstruje o co chodzi.

Ostatnio nauczycielka matematyki tlumaczyla mojemy synowi, ze znany wynik dotychczasowych losowan nie wplywa na wartosc prawdopodobienstwa.
Chodzilo o fakt, ze jest jedna kula czarna a reszta biale. 98 wyciagnieto bialych, jakie jest prawdopodobienstwo, ze nastepna bedzie czarna.
Podobno nie bylo to 1/2, bo liczyla sie calosc zadania, czyli 1/100.

Ależ to są te same zdarzenia. Liczba rzutów też jest taka sama. Najistotniejszym parametrem rzutu, o którym mowa w zdarzeniu drugim, jest to, że jest to trzeci rzut.



Toż to oczywisty absurd

No niestety. To matematyka...
Tak naprawde to bylo od poczatku 1/100, wiec fakt, ze juz 98 bialych wylosowano nic w CALOSCI nie zmienial.

Matematyka nie jest absurdalna i się nie myli. Mylić się może co najwyżej matematyk



Zmienił absolutnie wszystko, bo losujemy już nie ze 100, tylko z dwóch kul, wiedząc, że jedna jest na pewno czarna.

Tez mi sie tak wydawalo.
Ale zadanie od poczatku bylo: losujemy jedna ze 100.

Prawdopodobienstwo bylo dla mnie jasne tylko wtedy, kiedy ... nie myslalam, tylko podstawialam do wzoru. Inaczej wlasnie takie dziwy wychodzily.

To nie jest absurd, tylko paradoks. Prawdopodobieństwa muszą się sumować do jedności, a Twoim, Johnny, rozumowaniu, sumują się do 1.98, czyli wylosowanie wszystkich stu kul jest bardziej niż pewne. : PPP

Ale w czym problem? Prawdopodobieństwo wydobycia czarnej kuli na początku wynosi 1/100, a którejś z pozostałych - 99/100. Po wyjęciu jednej białej kuli, prawdopodobieństwo wylosowania czarnej wynosi 1/99, a którejś z pozostałych 98/99. Gdy zostaną dwie kule, w tym jedna biała, prawdopodobieństwo wylosowania czarnej wynosi 1/2, a białej - tyle samo. Wszystko się tak samo dobrze sumuje do jedności.

No, jeśli pilaster nie mąci, to prawdopodobieństwa sumują się tak: 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/3 + 1/2 + 1 i NIE dają jedności.

Jakie doświadczenie rozważamy?
Jak określamy przestrzeń prawdopodobieństwa?
Jakie jest zdarzenie elementarne?

O, chyba mam. Załóżmy, że wylosowaliśmy już tych dziewięćdziesiąt osiem kul, ale nie patrzyliśmy, jakie one są. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy teraz czarną?

Bo to są dwa różne zdarzenia

"mając 100 kul w urnie 99 białych i jedną czarną, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej w 99 losowaniu"

i

"mając 2 kule w urnie, w tym jedną czarną, etc.."