Kompletnie źle, oblałeś. To nie jest konwencja zapisu, tylko wynika z definicji, jakie dla wygody przyjęto do skonstruowania operacji potęgowania:

(I) a^1 =def= a
(II) n∈N, a≠0: a^(-n) =def= 1/(a^n)

skąd dla a=2, n=1 mamy: 2^(-1) = 1/(2 ^1) = 1/2

Operacja potęgowania wzięła się, owszem, z pewnej konwencji zapisu, mianowicie z uproszczenia zapisu mnożenia tej samej liczby: zamiast pisać "2*2*2*2*2" wymyślono, że można pisać krócej: "2^5" ("przemnożone pięć dwójek"). Ale dopóki to był zaledwie krótszy, prostszy zapis, to symbole takie jak 2^0, 2^1, 2^(-1), 2^(1/2) nie miały sensu! Zapis "a^n" był sensowny tylko dla n=2,3,4...
2^2 oznacza 2*2
2^3 oznacza 2*2*2
2^4 oznacza 2*2*2*2
Na przykład "2^1" nie miało sensu, bo oznaczałoby "mnożenie jednej dwójki", a przecież operacja mnożenia wymaga dwóch liczb. Jeszcze większym dziwadłem jest symbol "2^0", bo co miałby oznaczać?

Tak naprawdę, punktem wyjścia była konwencja zapisu, ale ponieważ matematycy lubią grzebać i majstrować, więc zauważyli, że np.
(2^2) * (2^3) = (2*2) * (2*2*2) = 2*2*2*2*2
czyli (2^2) * (2^3) = 2^(2+3) = 2^5, a w ogólności:
dla dowolnych n, m = 2,3,4... zachodzi: (a^m) * (a^n) = a^ (n+m)

W tym momencie aż korciło, żeby spojrzeć na przypadek typu :
2^4 = 2*2*2*2= (2*2*2)*2 = ... = (2^3) * 2
nasuwając myśl, że dobrze by było przyjąć, że a^1 = a, bo wówczas będzie się można posługiwać się wygodniejszą prawidłowością:
(a^m) * (a^n) = a^ (n+m) zachodzi dla dowolnych n, m = 1, 2,3,4...
Dodanie tej definicji do pierwotnej konwencji zapisu spowodowało, że otrzymano całkiem nowe działanie na liczbach, wykraczające poza pierwotne "uprośćmy zapisywanie". Kolejne kroki rozbudowują to nowe działanie na wykładnik zerowy oraz wykładniki ujemne:

Skoro np. 3+0=3, wiec "dobrze by było", w potęgowaniu również np.
2^3 = 2^(3+0) = (2^3) * (2^0)
dlatego, żeby móc to uzyskać, postanowiono, że nowe działanie, potęgowanie, będzie określone dla zerowego wykładnika i będzie dawać wynik 1, czyli:
a^0 =def= 1
Z kolei np. 0 = 3-3 = 3+(-3), więc w podobny sposób uznano, że "przydałoby się", żeby:
1 = 2^0 = 2^(3+(-3)) = (2^3) * 2^(-3)
dlatego przyjęto, że dla całkowitego wykładnika ujemnego potęgowanie również będzie wykonywalne, a wynikiem będzie taka liczba, która zapewnia a^n * a(-n) = 1. Stąd się wzięło, że przyjęto, iż:
n∈N, a≠0: a^(-n) =def= 1/(a^n)
Podobnie zdefiniowano, co miałby oznaczać wymierny ("ułamkowy") wykładnik potęgi, czyli np. 2^(2/3). A następnie jak wykładnik rzeczywisty, np. 2^(PI/2).

Potęgowanie zostało wymyślone jako uogólnienie pewnego rodzaju mnożenia, ale nie jest tylko konwencją zapisu. Jest nowym działaniem, nowym konstruktem matematycznym.

A to nie blad?

Dla mnie konwencja byla w znaczeniu umowy, czyli to, co ty nazywasz definicja.



Nie zostalo wymyslone. Zostalo "odkryte". Jest to po prostu zapis pewnej zaleznosci. On tej zaleznosci nie tworzy. On ja tylko zapisuje.
Dla mnie w matematyce bylo zawsz efascyniujace, ze obojetnie jak droga probujemy rozwiazac zadanie (a moze to byc tygonometira, badz liczby zepolone, badz...) wynik jest zawsze jeden.

Masz chyba problem z pojeciem tworzenia czegos. To, ze tworzymy jakies definicje, ktore pozwalaja cos opisac, nie oznacza, ze tworzymy to co opisujemy. To jest i bez naszego zapisu.

Owszem, literówka. Dużo i szybko pisałem.

Napisałeś, że to jest "konwencja ZAPISU", a tymczasem wcale nie chodzi o umowę co do zapisu (taką jak ta, że znakiem "+" oznaczamy dodawanie), ale o umowę co do KONSTRUKCJI, o umówienie się co do własności konstruowanego "bytu" matematycznego! O umowność tkwiącą u samych podstaw matematyki!

Prosto wytłumaczyłem, a dalej nie rozumiesz: "dwa do potęgi pierwszej" NIE zostało odkryte tylko wymyślone! Nie ma żadnego odkrycia w tym, że
2^1=2
wręcz przeciwnie - to MY sami tak sobie PRZYJĘLIŚMY, bo tak nam było wygodnie. Zbudowaliśmy nowe działanie i NADALIŚMY mu pewne DEFINICYJNE własności.

No wlasnie:

I za pomoca tych dzialan stwierdzamy, ze mozemy zrozumiec (matematycznie) rzeczywistosc, ktora JEST.
Cos nie tak?

Za pomocą tych skonstruowanych przez siebie działań i obiektów matematycznych możemy budować zmatematyzowane modele rzeczywistości. Czyżbyś się dziwił, że model skonstruowany z użyciem pewnego narzędzia wykazuje wpływy cech tego narzędzia? Swoją matematyką modelujemy świat, ale to w ogóle nie oznacza ani, że matematyka nie jest naszym tworem, ani że świat "w rzeczywistości" jest matematyczny (czy też: "matematyka istnieje realnie, jak świat fizyczny lub bardziej").

Moment, ale tworzymy modele rzeczywistosci istniejacej niezaleznie od modelu.
Tak czy nie?

Owszem. No i?...

Jak do tej pory matematyka nas raczej nie zawiodla, czyli nasze definicje sa poprawne.
Oczywiscie, ze matematyka nie jest bytem, ale niezaleznie od przyjetych naszych konwencji, badz definicji te zaleznosci (matematyczne) istnieja.
Poprawnosc definicji mozna sprawdzic wlasnie przez jej zastosowanie. Wynik jest zawsze ten sam. Jezeli wynik jest inny, to najprawdopodobniej nasza definicja byla bledna. Czyli blad jest po naszej stornie, a nie po stronie matematyki (jezeli mozna to tak powiedziec)

To, że inni ludzie podzielali lub podzielają jakiś pogląd, nie oznacza jeszcze, że należy on do kategorii zwykłych, nie wymagających solidnej argumentacji.

Choćby dlatego, że to właśnie HISTORIA rozwoju matematyki pokazuje czarno na białym, dowodzi, że jest ona naszym tworem, że ją sami skonstruowaliśmy. Skoro uważasz inaczej, to powinieneś mieć bardzo twarde kontr-dowody.

No cóż, jeśli ktoś znajomość historii intelektualnego dorobku ludzkości uważa za zbędną, jej poznanie za stratę czasu, to NIGDY nie zrozumie świata, w którym żyje.

Na tym skończę, bo mi ręce opadły jak płetwy.

Że co? A która geometria jest "poprawna": Euklidesa czy Łobaczewskiego?
Przecież modele świata fizycznego, które budujemy z użyciem naszej matematyki z konieczności są z nią zgodne! Kiedy coś w nich nie pasuje do empirii, wówczas... wcale nie zmieniamy skonstruowanych przez nas definicji wyznaczających byty matematyczne, tylko staramy się zbudować inny model. Używając, jak zwykle, naszej matematyki...

Matematycznej?! Chyba żartujesz! matematyka nie jest nauką przyrodniczą -- nie da się "sprawdzać poprawności" ani "prawdziwości" definicji czy aksjomatów.

Znaczy się, nie każde pojęcie matematyczne ma sens fizyczny i tego się uczyło w liceum przy okazji rozwiązywania zadań z fizyki: że, dajmy na to, jeden pierwiastek trójmianu kwadratowego stanowi rozwiązanie problemu, a drugi jest już wynikiem bez sensu, chociaż oba są poprawne matematycznie. I to jest jasne...


...a tutaj już dyskutanci grzęzną, ponieważ umknęło ich uwadze, że matematykę konstruuje się w sposób spójny i niesprzeczny, czyli że nie stwarza się dowolnej matematyki - matematyk, w przeciwieństwie do filozofa, tego przysłowiowego kosza na papiery jednak używa. Istnieją więc pewne ramowe ograniczenia narzucone matematyce i stąd nasze zdziwienie, że coś abstrakcyjnego sprawdza się w rzeczywistości materialnej. Ale dowodzi to tylko tego, że - uwaga! - poprawnie działa aparat generujący matematykę, czyli ludzki mózg. I w zasadzie na tym zdziwienie się kończy.

To swoją drogą. Ale ja o czym innym: jeśli w jakiejś nauce przyrodniczej model matematyczny fragmentu świata okazuje się, po pewnym czasie, rozbieżny z empirią, to przecież wcale nie poprawia się, nie zmienia naszej matematyki, tylko kombinuje się, co zrobić z samym modelem. Na przykład rozbieżności obserwowanej trajektorii Merkurego z przewidywaniami teorii: Einstein pokazał, że nowy model fizyczny, zbudowany z użyciem niezmienionej przecież matematyki, tłumaczy je bardzo dobrze. Jakoś ani razu nie "korygowano" istniejącej matematyki z tego powodu, że jakaś nauka empiryczna miała kłopot z jakimś modelem. Ptolemeusz->Kopernik->Kepler->Newton->Einstein to są przejścia pomiędzy różniącymi się, pozmienianymi, coraz lepszymi modelami, a nie pomiędzy różniącymi się, pozmienianymi wariantami matematyki.

Nie rozumiem jak się ma ta uwaga do tego, co napisałem. Pojęcia nie mam, nie widzę związku. Przecie geometria klasyczna, Euklidesowa jest tak samo spójna i niesprzeczna jak geometria Łobaczewskiego. Tylko że są inne, bo różnią się jednym aksjomatem. Obie są poprawne, w tym rzecz.

Amen.

To masz pewne jak w dobrym banku, gdyż w ogóle nie czujesz tego narzędzia.


I słusznie, bo nie jesteś sam.
Mam właśnie przed sobą ksiązke "Kod Biblii", Michaela Drosnina. On tez odkrywa ukrytą wiedzę, ale robi to nieco inaczej. Z hebrajskiego tekstu usuwa wszelkie formatowanie, tak ze zostają same znaki bez odstępów. Formuje z tego tablicę i poddaje obróbce komputerowej przy pomocy wcześniej opracowanego programu. Okazuje się, ze tym razem Biblia przewiduje wiele wydarzeń politycznych z końca ostatniego stulecia (na tym się skoncentrowano, zapewne przewiduje więcej), z nazwiskami i datami. Tak więc nie tylko astronomia i nie tylko historia, Biblia jest naprawdę uniwersalna. I jaka plastyczna, wyciągasz co chcesz.

Odniosłem wrażenie, że spieracie się niejako obok własciwego problemu - i że spierać się możecie tak cały tydzień - zajmując stanowiska skrajne, podczas gdy prawda leży pośrodku. Za adekwatność tego wrażenia nie ręczę, niemniej wydaje mi się, że dyskusja wasza krąży wokół problemu, czy matematykę się tworzy, czy też matematykę się odkrywa. Otóż chyba coś pośrodku.


Bo są spójne i niesprzeczne. : ] W ogóle nie wiem, czy w matematyce ma sens mówienie o poprawności danej teorii? Poprawność zakłada porównywanie z jakimś punktem odniesienia, np. dla fizyki takim punktem odniesienia jest eksperyment. Ale matematyka nie jest nauką eksperymentalną. Można co najwyżej mówić o poprawności rozwiązania jakiegoś problemu. Ale problemy te nie są zadane matematyce z zewnątrz: ona stawia je sobie sama i sama określa warunki które należy spełnić, aby problem rozwiązać. I za bardzo nie wiem, jak miałaby wyglądać geometria "niepoprawna", a spełniająca warunek spójności i niesprzeczności.

Nie odkrywa się, nie w takim sensie jak to rozumieją moi oponenci - jak odkrywanie nowych lądów, których istnienie nie zależy od nas, które są obiektywnym elementem rzeczywistości. Odkrywanie w matematyce rzeczywiście zachodzi, ale tylko takie, jak kiedy projektuję i wykonuję jakieś złożone klocki, z rozmaitymi sposobami połączeń, z myślą o pewnych konstrukcjach, jakie zamierzam z nich zrobić, a potem odkrywam, że dają możliwości o wiele bogatsze niż przewidywałem.

Nie mógłbym się zgodzić bardziej.