Jak ktoś nie rozumie implikacji, to powinien się douczyć

... ale jakiej implikacji?
Jeśli kwadrat jest kołem to kapusta jest zielona

Co tu implikuje co?
Nie ma związku p i q, nie ma wynikania (implikacji).

Czego tu nie rozumiesz?
... przecież to jest proste jak cep.

To jest cięższy przypadek. On nie rozumie fałszu.

Normalnej. Wypadałoby rozumieć to, co się krytykuje.


Mogę napisać program, który będzie rysował kapustę na fioletowo, jeśli przeciążony operator porównania nie zwróci prawdy logicznej dla instancji klas "kwadrat" i "koło". Więc?

Nie wiem, czego teraz uczą po podstawówkach. Mnie w zerówce jeszcze wprowadzali nawiasy na zasadzie takich fajnych drzewek. Kubuś zapewne w tym czasie imponował kolegom wygłupiając się, kiedy pani nie patrzyła. No i mamy to, co mamy...


Kubuś zastąpi pytajniki wartościami prawdy i fałszu.


...toteż wracaj do stodoły, młócić. Na tym się widać znasz.

Czyli podsumujmy:

Logika Klasyczna jest zła, bo niektóre zdania, które są sensowne w myśl KRZ brzmią dziwnie w języku polskim. Dlatego należy Logikę Klasyczną zaorać.

Zamiast tego należy wprowadzić NTI. Co prawda NTI nie definiuje połowy pojęć, których używa, a drugą połowę definiuje ignotum per ignotum. Co prawda NTI sprawia wrażenie kilku oderwanych od siebie bredzeń. Co prawda co jakiś czas kubuś przyznaje, że nie napisał jeszcze NTI w całości. Co prawda kubuś nie umie odpowiedzieć na podstawowe pytania dotyczące NTI... ale co tam: NTI jest lepsza od LK, bo patrz wyżej.

Algebra Kubusia
Część II
Operatory OR i AND w zbiorach

Część I
viewtopic.php?p=811580#p811580

1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka


3.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:


Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora OR:


Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Fundamentem operatorów OR i AND są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+).

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia:
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń)
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów (zdarzeń)

Definicja spójnika „i’(*):
Iloczyn logiczny (koniunkcja) dwóch zmiennych binarnych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Maszynowa i symboliczna (źródłowa) definicja spójnika „i”(*):


Symboliczna (źródłowa) definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A456 (kod maszynowy A123) w tabeli zero-jedynkowej operatora AND, linie BCD123 będące uzupełnieniem do pełnego operatora AND są martwe i nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*). To uzupełnienie jest konieczne wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (alternatywa) dwóch zmiennych binarnych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Maszynowa i symboliczna (źródłowa) definicja spójnika „lub”(+):


Algorytm tworzenia symbolicznej definicji spójnika „lub”(+):
Robimy spis z natury, czyli opisujemy dokładnie to co widzimy w kodzie maszynowym:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Prawda (1) jest w logice domyślna i możemy ją pominąć, stąd mamy równanie logiczne opisujące spójnik „lub”(+) w powyższej tabeli zero-jedynkowej:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q) =1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna:
Y=1
Stan pozostałych członów po prawej stronie jest nieistotny.

Wniosek:
Symboliczna (źródłowa) definicja spójnika „lub”(*) to wyłącznie obszar ABC456 (kod maszynowy ABC123) w tabeli zero-jedynkowej operatora OR, linia D123 będąca uzupełnieniem do pełnego operatora OR jest martwa i nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+). To uzupełnienie jest konieczne wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dowód iż linia D nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+):
Y = Ya+Yb+Yc - to równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123 (czyli bez linii D)
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q
;q+~q=1
;p*1 =p
Y = p + (~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
;~p*p =0
;0+x =x
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Wniosek:
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123 w tabeli zero-jedynkowej operatora OR.


3.1 Definicja symboliczna operatora OR w zbiorach

Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.


Diagram 1
Y = p+q - (R1=zielony + R2=niebieski) => (R3=zielony)
~Y = ~(p+q) - (R3= nie zielony => R3=żółty)

Diagram 2
Ya=p*q - (R1=zielony * R2=niebieski) => (R4=brązowy)
Yb=p*~q - (R1=zielony * R2=zielony) => (R4=zielony)
Yc=~p*q - (R1=niebieski * R2=niebieski) => (R4=niebieski)
~Y=~p*~q - (R1=niebieski + żółty) * (R2=zielony + żółty) => (R4=żółty)

Definicja operatora OR:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q - (R3=obszar zielony)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*~q - (R4=obszar żółty)

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1
Y*~Y = [1,2,3,4,5,6]*[7,8] = [] =0

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q =[1,2,3,4,5,6] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [7,8] =1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie!
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6] =1 - dopełnienie zbioru ~Y do dziedziny:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]

Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Wniosek:
Nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja (wkrótce poznamy).

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to matematyczny opis relacji między wszystkimi zbiorami w obrębie założonej dziedziny.

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem 2:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty

Zauważmy, że spójnik „i”(*) to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)*q(x) =1*1 =1
Istnieje takie x, które należy do zbiorów p(x) i q(x).
Znajdziemy jedno takie x i już zbiór wynikowy nie jest zbiorem pustym, zatem wartość logiczna zdania jest równa 1.

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora OR w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora OR:


Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie linie A, B i C
ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:


Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y (kiedy dotrzymam słowa) otrzymujemy w obszarze ABC123 bo tylko tu widzimy niezanegowane:
Y=Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (kiedy skłamię) widzimy w linii D123 bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y (~Y):
~Y = ~p*~q

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456.
Definicja maszynowa spójnika „lub”(+) w zdaniu W to wyłącznie obszar ABC456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie te zaznaczone na czerwono (tu tylko D456) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789
Definicja maszynowa spójnika „i”(*) w zdaniu U to wyłącznie linia D789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „*”). Linie te zaznaczone na czerwono (ABC789) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Doskonale widać, że twierdzenie śfinii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora OR (obszar ABCD123):
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej bo Y (obszar ABC123) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej bo ~Y (linia D123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika „lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+) w obsłudze zdania wypowiedzianego W.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Linia D nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli zero-jedynkowej jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


3.2 Definicja symboliczna operatora AND w zbiorach

Definicja operatora AND w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q

Definicja operatora AND w zbiorach.

Diagram 1
Y=p*q - (R1= zielony) * (R2=niebieski) => (R3=brązowy)
~Y=~(p*q) - (R3=nie brązowy) => (R3=żółty)

Diagram 2
Y=p*q - (R1=zielony * R2=niebieski) => (R4=brązowy)
~Yb=~p*~q - (R1=niebieski+żółty)*(R2=zielony+żółty) = (R4=żółty)
~Yc=~p*q - (R1=niebieski * R2=niebieski) => (R4=niebieski)
~Yd=p*~q - (R1=zielony * R2=zielony) => (R4=zielony)

Definicja operatora AND:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p*q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q

Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora AND:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q

Sprawdzenie definicji operatora AND:
A: Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1
B: ~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
bo to dwa rozłączne obszary
Dziedzina:
Y+~Y = [3,4]+[1,2,5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =D =1
Y*~Y = [3,4]*[1,2,5,6,7,8] = [] =0

Porównując diagram 1 i 2 mamy:
~Y=~(p*q) = ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana dla operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Zbiór Y=p*q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p+~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p*q) <=>~(~p+~q)

Zauważmy, że w powyższym diagramie zachodzi też równoważność nie będąca tożsamością.
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y=p*q =[3,4] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]= [1,2,5,6,7,8]=1 - dopełnienie zbioru Y do dziedziny
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
i odwrotnie!
Jeśli wiemy dla jakiego zbioru zachodzi ~Y:
~Y = ~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8] = [1,2,5,6,7,8] =1
to automatycznie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej wiemy dla jakiego zbioru zachodzi Y:
Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4] =1 - dopełnienie zbioru ~Y do dziedziny:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]

Zachodzi zatem równoważność:
Y <=> ~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Wniosek:
Nie każda równoważność jest tożsamością.

Ta równoważność zachodzi tylko i wyłącznie dlatego, że zbiór ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru Y, czyli spełniona jest definicja dziedziny:
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Na mocy definicji dwa rozłączne zbiory uzupełniające się wzajemnie do dziedziny to równoważność, trzy rozłączne zbiory uzupełniające się nawzajem do dziedziny to implikacja (wkrótce poznamy).

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: ~Yb =~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
C: ~Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Yd = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty

Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora AND:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = [7,8]+[5,6]+[1,2]= [1,2,5,6,7,8] =1
~Y=~p+~q = [5,6,7,8]+[1,2,7,8]=[1,2,5,6,7,8]]=1

Na mocy definicji operatora logicznego zapisujemy symboliczną definicje operatora AND w korelacji z naszym diagramem.

Symboliczna definicja operatora AND:


Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
ze spójnikiem „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C i D.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej bo Y:
W.
Y=p*q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR w logice ujemnej bo ~Y:
U.
~Y=~p+~q
~p=1, p=1
~q=1, q=0
~Y=1, Y=0

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:


Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A123
ze spójnikiem „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie obszar BCD123

Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y (kiedy dotrzymam słowa) otrzymujemy w linii A bo tylko tu widzimy niezanegowane Y:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (kiedy skłamię) widzimy w obszarze BCD123 bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y (~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (do teorii zbiorów, tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p*q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD456.
Definicja maszynowa spójnika „i”(*) w zdaniu W to wyłącznie linia A456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie te zaznaczone na czerwono (BCD456) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p+~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD789.
Definicja maszynowa spójnika „lub”(+) w zdaniu U to obszar BCD789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linia zaznaczona na czerwono (A789) nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebna jest wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie świnii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora AND (obszar ABCD123):
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej bo Y (linia A123) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej bo ~Y (obszar BCD123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


3.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:


gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Operator OR:

Z symbolicznej definicji operatora OR wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Operator AND:

Z symbolicznej definicji operatora AND wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Zauważmy, że miedzy operatorem OR a operatorem AND nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p+q
B2: ~Y=~p+~q
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=p*q
A2: ~Y=~p*~q
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr

Po pierwsze:
Logika klasyczna wymaga znajomości logicznej p i q z góry dla określenia prawdziwości całego zdania "jeśli p to q"
Czyli:
100% zdań rodem z logiki klasycznej jest sprzecznych z naturalną logiką człowieka, gdzie zdania "Jeśli p to q" w których znasz z góry wartości logiczne p i q są idiotyzmem, czyli są fałszywe.

Po drugie:
Przeczytaj cześć I i II Nowej Teorii Zbiorów i pokaż choć jedno pojecie które w ramach NTZ jest źle zdefiniowane.

Poczekaj na finał, część III, gdzie znajdziesz odpowiedzi na "kluczowe" dla ciebie problemy.
Dla rozgrzewki publikuję cześć II, wyżej.

Nie do końca prawda, bo jesli p jest fałszywe, to nie trzeba znać q
A jak chcesz w nowej logice określić czy zdanie jest prawdziwe, jeśli nie wiesz czy p i q są prawdziwe?

Przecież już zadałem Ci kilka pytań. M. in. były to pytania o definicje. Choćby pierwsze pytanie - jaka jest różnica między "p => q", a "q ~> p" jest pytaniem o definicję, bo z definicji dotychczasowych nie wynika, aby taka różnica była.
Oczywiście pojęć zdefiniowanych słabo jest znacznie więcej, ale najpierw załataj ziejące japy, a potem zajmiemy się dziurkami.

Z dedykacją dla Zefcia, czyli początek III części AK, początek obalania bzdury, jakoby:
p=>q = q~>p

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia ... tml#208024

Nie jest to prawdą.
Definicja implikacji prostej to seria czterech zdań wynikająca z tabeli zero-jedynkowej.
Oczywiście fałszywe jest wyłącznie jedno z nich, zdanie B.
Dowolne zdanie może być prawdziwe albo fałszywe, natomiast zdanie:
"Jeśli p to q" może być:
A: Częścią operatora chaosu (to NIE jest implikacja)
B: Częścią operatora równoważności (to nie jest implikacja)
C: Może być częścią operatora implikacji odwrotnej (to nie jest ta implikacja prosta znana Ziemianom!)
Wreszcie:
D. Może być częścią operatora implikacji prostej, czyli częścią tabeli zero-jedynkowej znanej Ziemianom

Wszystko jest w logice Ziemian fałszywe:
Zarówno twierdzenie że dowolne zdanie "Jeśli p to q" jest implikacją prostą prawdziwą - bo nie jest, to tylko jedna linijka operatora implikacji prostej.
Fałszywe jest też twierdzenie że zdanie "Jeśli p to q" może wchodzić wyłącznie w skład definicji implikacji prostej - patrz punkty A, B i C wyżej.

Początek III części AK:

3.0 Implikacja i równoważność w zbiorach

Zacznijmy od przypomnienia sobie praw Prosiaczka.

Scenka A:
A1.
Jaś pokazuje psa:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)
P=1
A2.
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (P)
~P=0
Doskonale widać tożsamość zdań:
A1=A2
(P=1) = (~P=0)

Scenka B.
B1.
Jaś pokazuje kozę:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (P)
~P=1
B2.
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)
P=0
Doskonale widać tożsamość zdań:
B1=B2
(~P=1) = (P=0)

Stąd mamy tożsamości Prosiaczka obowiązujące w całej logice matematycznej bez wyjątków:
I. (P=1) = (~P=0)
II. (~P=1) = (P=0)

oraz fundamentalnego prawo logiki.

Fundamentalne prawo logiki:
W dowolnym równaniu algebry Boole'a mamy do czynienia ze zmiennymi sprowadzonymi do jedynek

Ziemanie doskonale wiedzą, choć nie są tego świadomi, że w dowolnym równaniu logicznym wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

Dowód:
Uwaga 2.7 z "Wstępu do matematyki" prof. Newelskiego z UWr
http://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/d ... node3.html

Prof. Newelski napisał:
A.
Y=1 <=> (p=0 i q=0 i r=1) lub (p=0 i q=1 i r=0) lub (p=1 i q=0 i r=1)

Po czym od razu zapisał końcowe równanie algebry Boole’a opisujące analizowaną przez niego tabelę zero-jedynkową:
B.
Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1 i r=1) lub (~p=1 i q=1 i ~r=1) lub (p=1 i ~q=1 i r=1)

Doskonale widać, że w równaniu B wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)
cnd

Zauważmy, że prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo, dla dowolnych zmiennych.

Równanie matematycznie tożsame do A może na przykład wyglądać tak:
C.
~Y=0 <=> (~p=1 i q=0 i r=1) lub (p=0 i q=1 i r=0) lub (p=1 i ~q=1 i ~r=0)
Jeśli chcemy prawą stronę zapisać w postaci równania algebry Boole’a to musimy korzystając z praw Prosiaczka wszystkie zmienne sprowadzić do jedynek otrzymując.
~Y=0 <=> ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
Oczywiście prawe strony równań B i C są tożsame.
Lewą stronę możemy sprowadzić do jedynki, wtedy otrzymamy kopię równania B, ale nie musimy tego robić. Wzbogaceni o fundamenty logiki jak wyżej zajmijmy się tabelą zero-jedynkową implikacji prostej.


3.1 Kod maszynowy i źródłowy operatora implikacji prostej

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Utwórzmy kod źródłowy operatora implikacji prostej startując od jego definicji zero-jedynkoej.

Jest oczywistością, że wszystkie zmienne w równaniach symbolicznych mamy sprowadzone do jedynek.
Przykładowy zapis Dabcde odczytujemy tak:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) <=> (~p=1 i q=1) =1
Przykład:
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
~P*4L =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~P=1, 4L=1) i mają co najmniej jeden element wspólny (np. słoń) co wymusza prawdziwość zdania ~P~~>4L.
Naturalny spójnik „może” ~~> wymaga pokazania jednego elementu wspólnego zbiorów ~P i 4L wymuszając zdanie prawdziwe.

Geneza powstania kodu źródłowego implikacji prostej w algebrze Kubusia.

Z obszaru AB456 doskonale widać że:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Bo linia B456 jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić, stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Dlaczego?
Fundament algebry Boole'a (i Kubusia):
q+~q=1
q*~q=0
Zauważmy, że w zdaniach A i B mamy tożsamy poprzednik p.
Z czego wynika że jeśli w zdaniu A pojawia się q i zdanie B jest fałszywe, to w zdaniu B w następniku musi pojawić się ~q. Wykluczone jest aby w następniku kiedykolwiek w zdaniu B pojawiło się q.

Z obszaru CD456 doskonale widać że:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Bo linia D456 również jest prawdą:
B.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Z kolei w zdaniach C i D mamy identyczny poprzednik ~p, następniki są różne, jednoczesnie oba zdania C i D są prawdziwe, z czego wynika że w zdaniach C i D mamy do czynienia z "rzucaniem monetą", jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek q lub ~q.
Oczywiście wykluczone jest aby zdania C i D były prawdziwe jednocześnie.
Zabrania tego fundament algebry Boole'a:
q+~q=1
q*~q=0
W przełożeniu na zbiory sytuacja opisana tabelą zero-jedynkową implikacji prostej jest możliwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.

Uprzejmie proszę o podanie końca "obalania bzdury". Czyli konkretnego wykazania, że te zdania nie są równoważne. Nie mam ochoty przekopywać się przez kolejną kupę bełkotu o "operatorach chaosu".

Dostaniesz wszystko na tacy prosto i krótko.
Póki co polecam fenomenalną dyskusję na sfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia ... tml#208057

Tak tak. Już niedługo. A kobyłkę wilcy...
Póki co już Ci powiedziałem, że nie dyskutuję dalej, póki nie odpowiesz na pytania.

Oczywiście pod linkiem nie mamy niczego o logice klasycznej, tylko znowu debilne "znaczki". Powyżej już raz rafal próbował wykazać błędność KRZ, ale okazało się, że w prostym rozumowaniu walnął się trzy razy. Mimo wszystko będzie powtarzał tę swoją mantrę.