Zresztą, pomyśl chwilę: wymiarowość jest pojęciem wymyślonym do klasyfikacji różnych obiektów geometrycznych i algebraicznych. Na co byłoby ono przydatne, gdyby wymiarowość zmieniała się "co chwilę" w zależności od interakcji obiektu z czymś innym? Na nic; wyrzucono by je do kosza i poszukano innego, które pozwala zaszeregować dany obiekt do jednej szufladki raz na amen.

A poza tym, czy płaszczyzna położona ukośnie w układzie kartezjańskim staje się przez to trójwymiarowa?

A "płaszczyzna pofalowana", tzn. obraz płaszczyzny w jakimś przekształceniu topologicznym?

O sancta simlicitas!
Przecież również wtedy, kiedy kartka leżała na podłodze, narożnik pokoju wyznaczał trzy współrzędne: x, y, z. Tyle tylko, że dla wszystkich punktów narysowanego trójkąta współrzędna z była wówczas jednakowa i wynosiła zero. Ale przecież istniała! Punkty trójkąta cały czas miały TRZY współrzędne, zarówno kiedy kartka leżała płasko, jak i kiedy została postawiona ukośnie.

Dwuwymiarowość nie oznacza, że w danym, konkretnym układzie współrzędnym używa się w ogóle dwu współrzędnych do wskazania punktu należącego do tego obiektu. Oznacza, że w dowolnym układzie współrzędnych wystarczą dwie całkowicie niezależne współrzędne, żeby jednoznacznie wskazać konkretny punkt obiektu.

Dobra, jeszcze prościej, na jednym wymiarze mniej. Rysujesz na kartce kartezjański układ współrzędnych. Najprościej: jedna oś równoległa do jednego boku kartki, druga do sąsiedniego. Kartka to płaszczyzna, ma dwa wymiary, zgadza się? Ile współrzędnych występuje w układzie? Także dwie. A teraz równolegle do jednej z osi układu, np. poziomo, rysujesz jakiś długi odcinek, reprezentujący prostą. Skoro narysowałeś ją w układzie współrzędnych, to możesz ją jednoznacznie określić używając współrzędnych. Jest pozioma, więc równanie prostej będzie miało postać podobną do: y=5. To oznacza, że prosta składa się z punktów, które mogą mieć dowolną współrzędną x oraz koniecznie współrzędną y o wartości 5. Prosta jest tworem jednowymiarowym, mimo że narysowaliśmy ją na płaszczyźnie i w układzie współrzędnych, w którym możliwe są dwa wymiary. Mówimy, że jest jednowymiarowa, ponieważ dla wskazania konkretnego punktu na niej konieczne jest podanie tylko jednej niezależnej współrzędnej: x; bo współrzędna y jest narzucona przez równanie prostej. Zgada się?

A teraz rysujemy linię ukośną (Możemy się też umówić, że to ta sama prosta, co ta pozioma, tylko obrócona). Z lekcji geometrii analitycznej powinieneś pamiętać, że jej równanie ma postać podobną do: y = 2*x + 3. Pytanie: czy prosta ukośna względem osi układu jest tworem jedno- czy może dwuwymiarowym. Żeby na nie odpowiedzieć, należy sprawdzić, ile niezależnych od siebie współrzędnych jest koniecznych dla wskazania punktu tej prostej. Zacznijmy od poziomej osi. Czy x może być dowolne, żeby jakiś punkt na tej prostej miał taką współrzędną? Tak, może być dowolne. Weźmy więc np. x=4. Czy przy ustalonym x, współrzędna y punktu na naszej może być dowolna? Nie może. Dla x=4, współrzędna y musi wynosić =2*x+3 = 2*4+3= 11. Dla punktu o współrzędnej x=4, każda współrzędna y różna od 11 określa punkt poza prostą. A zatem: nasza prosta to zbiór punktów mający tę cechę, że dla dowolnej wartości współrzędnej x punktu jego współrzędna y jest narzucona. Inaczej mówiąc: kiedy mamy równanie prostej, to żeby wskazać punkt na niej, wystarczy nam jednawspółrzędna (bo druga jednoznacznie wynika z równania). A zatem prosta, nawet ukośna względem osi układu, jest tworem jednowymiarowym.

Oczywiscie, ze gdy weźmiemy izolowany trójkąt, jest on zawsze dwuwymiarowy, dlatego ze zawsze (z reguły mimowolnie) układamy go tak aby leżał na płaszczyźnie. Gdy jednak umieścimy go skośniei (w sensie przestrzennym) w danym układzie prostokątnym, każdy jego punkt będzie opisany trzema wspórzędnymi, przy czym wszystkie są rózne od zera.
Druga sprawa: to ze zwykły trójkąt da się umieścić na płaszczyźnie, nie oznacza, ze da sie na niej umiescić takze trójkat sferyczny.
Na pierwszy rzut oka powyższe postawienie sprawy moze wydawać sie dziwaczne. Trzeba sobie jednak uzmysłowić, ze obiekty realne są trójwymiarowe, a dwuwymiarowość czy jednowymiarowość to uproszczenia, które sobie tworzymy dla ułatwienia myślenia i liczenia. Sam trójkat też jest tworem matematycznym i abstrakcyjnym.

Wystarczą dwie pod warunkiem, ze ów obiekt dwuwymiarowy umieścimy na jednej z trzech płaszczyzn. Jeżeli będzie leżał ukośnie (wyjdzie poza płaszczyznę) wtedy niestety dwie nie wystarczą. Ma sie rozumieć, nie zmienia to samego obiektu ani o jotę, jest jaki był.
Troche wiecej napisałem w odpowiedzi ErgoProxemu, wiec nie będę sie powtarzał.

nie wiem co by powiedzieli uczeni matematycy, ale logicznie tak wychodzi. Tyle ze jest to niepraktyczne. Po co ktos mialby tak robic? Raczej obraca sie ukłąd aby wszystko było elegancko.

Jeśli pofalowana to juz nie płaszczyzna w typowym sensie matematycznym (choc w sensie fizycznym mówimy o płaszczyźnie Ziemi, choc wiemy ze nie jest płaska, jest to przyblizenie).
Choc- z drugiej strony- chyba w matematyce używa się tez terminu "płaszczyzna" dla powierzchni pofałdowanych, ale dokłądnie nie pamiętam jak to jest.
Płaszczyzna pofalowana czy pofałdowana z całą pewnościa jest trójwymiarowa.

Czyli oznacza to, że w płaszczyźnie obróconej ukośnie da się zmieścić sześcian, a w płaszczyźnie położonej płasko już nie?

A jak go gdzieś umieścimy, to wtedy może magicznie zyskać jakiś swój trzeci wymiar?

Po pierwsze: nieprawda. Bez trudu można umieścić w przestrzeni trójkąt położony skośnie w stosunku do każdej z osi układu kartezjańskiego, a jednak nie każdy jego punkt będzie miał wszystkie trzy współrzędne różne od zera. Wystarczy jego wierzchołek umieścić w początku układu. Wówczas ten jego punkt będzie miał nie tylko jedną, ale wszystkie trzy współrzędne równe zero. Pomijam nawet nieskończenie wiele innych ustawień, kiedy któraś z trzech współrzędnych trójkąta położonego ukośnie jest zerowa - wystarczy, że trójkąt przecina choć jedną oś układu.
Po drugie: liczba współrzędnych konkretnego układu nie wyznacza bynajmniej liczby wymiarów obiektu, jaki w nim umieścimy. Wyznacza tylko maksymalny możliwy wymiar obiektu, jaki da się umieścić.

No i co z tego? Podobnie nie da się na sferze (powierzchnia dwuwymiarowa!) umieścić zwykłego trójkąta, choć da się trójkąt sferyczny.


Dobra, to już wiemy, że mimo obrazowych i detalicznych tłumaczeń w ogóle nie widzisz różnicy pomiędzy dwoma różnymi pojęciami: liczbą używanych współrzędnych oraz wymiarem figury. Naprawdę, nie potrzeba być do tego "uczonym matematykiem" -- to poziom szkolny.

Bo to taka rozmowa z Goethem o kolorach...

Ale wiecie co, właśnie dlatego lubię nauki ścisłe. Bo tutaj trzeba umieć przyznać się do błędu i przełknąć to trzy na szynach, albo w pewnym momencie nędznego rachmistrza, co się wykłócał, kopnie wysokie napięcie i wiele mu przyjdzie z tego, że będzie ono trójwymiarowe – serce mu się rozmigocze i stanie tak czy inaczej.


Trzeba sobie jednak uzmysłowić, że wiele rzeczy wyrozumowano i wyrachowano najpierw na kartce, a dopiero potem potwierdzono ich fizyczne, "namacalne" istnienie; i trudno żeby było inaczej, skoro matematyka jest sublimatem fizyki i skoro dwa a dwa daje cztery – obojętne, owoce, czy kratery meteorytowe.

Zresztą, co może ważniejsze dla hobbysty, dla nauki i techniki miłośnika, umiejętność abstrahowania od "trójwymiarowej realności" sprawność umysłową rozwija i wyostrza. I to nie tylko dlatego, że trzeba umieć abstrakt ujrzeć, uchwycić i – uwaga! – doprecyzować, cyzelując definicję pojęcia, ale i dlatego, że na abstrakcyjnym modelu można przeprowadzić więcej rachunków i rozważań niż na obiekcie fizycznym, z którym postępować da się tylko na wyczucie, prowadząc ręką obrabiarkę. Otóż niestety, ale technicy pozbawieni wsparcia projektantów wystrugają przyrząd obrabiarką może za stulecie, ucząc się na swoich błędach i trupach. Natomiast inżynier wyliczy zupełnie bezkrwawo projekt przyrządu w ciągu może tygodnia, a może dwóch.

Dlatego właśnie zbywanie osiągnięć naukowotechnicznych krótkim "phi! ułatwienia! mnie, humaniście, zbędne!" mogą poprawić komuś nastrój, ale zgoła nie uczynią go przydatniejszym dla ludzkości, która dlatego zrealizuje kiedyś prometejski sen o nieśmiertelności, że lekarstwo na śmierć ze starości zostanie zaprojektowane przy użyciu rozlicznych maszyn, a nie wymyślone przez jednego genialnego humanistę, co się trójkątom nie kłaniał.

Skoro płaszczyzna jest płaska, niezależnie od jej połozenia nigdy nie moze pomieścic sześcianu. Jak byś go nie ułozył, zawsze będzie wystawał z płaszczyzny, to chyba oczywiste.

No właśnie, jest płaska. To znaczy: bez grubości. To znaczy: dwuwymiarowa. Gdyby była trójwymiarowa, toby sześcian, także trójwymiarowy, pomieścił się w niej bez trudu.

Przecież dopiero co obydwaj stwierdziliśmy, ze 3 wymiary sa zawsze, jedynie niekiedy ten tzreci moze mieć wartosc zero.

Widze, ze usilnie szukasz dziury w całym i stosujesz formalne sztuczki. Wiadomo przecież, ze nie chodziło o takie wyjątki.

A coż to jest? Co ma piernika do wiatraka?
Obiekt umieszczasz w układzie i odczytujesz wspólrzedne. Dopiero co pisałeś, zę w ukłądzie prostokatnym wspólrzędnych jest zawsze 3, choć mozliwe ze jedna jest zerowa, a teraz znów recydywa? Zdecydsuje sie czy współrzędna rowna zero czy jej nie ma.

Znów sobie skaczemy z układu do układu? Jesli chcesz porównać dwa obiekty, musisz je umieścic w tym samym układzie. Wszystko jedno w którym, ale w tym samym.

Trudno powiedzieć czy widzę, bo nie słyszałem o czymś takim jak wymiar figury, choc słyszałem o wymiarach figury.
Co wiec chciałeś powiedziec?

Gdyby babcia byłą dziadkiem...
Gdyby była trójwymiarowa to by nie była płaszczyzną lecz przestrzenią. O co więc tu chodzi?

Chodzi o to, że zetknąłeś z pojęciem wymiaru pierwszy raz w życiu, a mimo to uważasz, że możesz nas pouczać, jak się go używa. Askad, prośba: przestań błyskać pychą i tupetem, tylko zacznij się uczyć. W naukach ścisłych, w przeciwieństwie do humanistycznych, wykazanie swoich umiejętności nie polega na przegadaniu oponenta.

...tak, wiem: na niwie filozofii poczynam sobie nie lepiej od niego, więc przyganiał kocioł garnkowi. Ale rzecz w tym, że w naukach ścisłych naprawdę napięcie może kopnąć.